Soluzione analitica PDE ellittica

[roger_84]

Ciao a tutti, sono nuovo e sto cercando la soluzione analitica dell'equazione di Poisson $ nabla^(2)u(x,y)=-1 $
su un dominio quadrato [0,1]x[0,1] con condizioni di Dirichlet su tutto il bordo.
grazie

Roger

[Rigel1]

Se la stai cercando, eccola:
$u(x,y)=\frac{x-x^2}{2}-\frac{4}{\pi^3}\sum_{k=0}^\infty\frac{\sin[(2k+1)\pi x]}{(2k+1)^3(e^{(2k+1)\pi}+1)}\{\exp[(2k+1)\pi y]+\exp[(2k+1)\pi(1-y)]\}$

[roger_84]

Grazie!
è possibile che se il dominio è un cerchio allora la soluzione è semplicemente $ u(x,y)=[1-x^{2}-y^{2}]/4 $ ?

[ciampax]

"Rigel":Se la stai cercando, eccola:
$u(x,y)=\frac{x-x^2}{2}-\frac{4}{\pi^3}\sum_{k=0}^\infty\frac{\sin[(2k+1)\pi x]}{(2k+1)^3(e^{(2k+1)\pi}+1)}\{\exp[(2k+1)\pi y]+\exp[(2k+1)\pi(1-y)]\}$

Ma ma ma ma ma... Rigel!

[Rigel1]

"roger_84":Grazie!
è possibile che se il dominio è un cerchio allora la soluzione è semplicemente $ u(x,y)=[1-x^{2}-y^{2}]/4 $ ?

Beh, questa si verifica facilmente.