Sistemi lineari con parametri.

[miik91]

Salve a tutti. Stavo ripetendo i sistemi lineari, quando mi sono imbattuto in una tipologia di esercizi che non avevo mai affrontato. Posto un esempio per farmi capire meglio:

Risolvere e discutere al variare del parametro reale a, il seguente sistema lineare:

[math]\begin{cases} x+y+z=a \\ x-ay-z=1 \\ 2x+y+az=a+1
\end{cases}[/math]

In questo caso ad esempio il sistema è compatibile in ogni caso. Infatti per a=0 e a=1 la matrice associata al sistema ha rango 2 così come la matrice completa, mentre in tutti gli altri casi sia la matrice associata, sia la matrice completa, hanno rango 3. Risulta quindi per il teorema di Rouchè-Capelli, che il sistema è sempre risolvibile. Ora però sorge il problema, in quanto per a=1 e a=0 è facile calcolare le soluzioni del sistem, ma in tutti gli altri casi non so come fare!! Avevo provato a ridurre con il metodo di Gauss la matrice, lasciandola nel parametro a, ma proprio per via di quest ultimo mi risulta impossibile ridurla. Non so proprio come fare a risolvere questo tipo di esercizi. Qualcuno potrebbe darmi una mano??? Grazie a tutti in anticipo.

Aggiunto 17 ore 58 minuti più tardi:

Ok tutto chiarissimo, grazie mille!!!!

[ciampax]

Quando hai un sistema lineare quadrato (in questo caso 3x3) conviene usare la regola di Cramer, piuttosto che Rouché-Capelli o l'eliminazione di Gauss. Ecco come procedere:

1) scriviamo la matrice dei coefficienti e calcoliamone il determinante. Otteniamo

[math]\Delta=\det\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\ 1 & -a & -1 \\ 2 & 1 & a
\end{array}\right)=-a^2+a=a(1-a)[/math]

2) Quando

[math]\Delta\neq 0[/math]

il sistema è risolvibile e ammette una sola soluzione, mentre se ciò non accade il sistema risulta incompatibile o indeterminato. Per cui, posto

[math]a(1-a)\neq 0[/math]

segue

[math]a\neq 0,\qquad a\neq 1[/math]

Analizziamo ora i vari casi.

Caso 1)

[math]a\neq 0,\ 1[/math]

: in tal caso si avrà una sola soluzione. Dalla regola di Cramer, essendo

[math]\Delta_x=\det\left(\begin{array}{ccc}
a & 1 & 1 \\ 1 & -a & -1 \\ a+1 & 1 & a
\end{array}\right)=a^2(1-a)[/math]

[math]\Delta_y=\det\left(\begin{array}{ccc}
1 & a & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & a+1 & a
\end{array}\right)=a(1-a)[/math]

[math]\Delta_z=\det\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a \\ 1 & -a & 1 \\ 2 & 1 & a+1
\end{array}\right)=a(a-1)[/math]

si hanno le soluzioni

[math]x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{a^2(1-a)}{a(1-a)}=a\\
y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{a(1-a)}{a(1-a)}=1\\
z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{a(a-1)}{a(1-a)}=-1[/math]

Caso 2)

[math]a=0[/math]

Il sistema diventa

[math]\left\{\begin{array}{l}
x+y+z=0\\ x-z=1\\ 2x+y=1
\end{array}\right.[/math]

da cui essendo

[math]z=x-1,\ y=1-2x[/math]

si ricava

[math]x+1-2x+x-1=0\ \Rightarrow\ 0=0[/math]

e quindi segue che il sistema ammette soluzioni (infinite)

[math](x,1-2x,x-1)[/math]

Caso 3)

[math]a=1[/math]

Il sistema diventa

[math]\left\{\begin{array}{l}
x+y+z=1\\ x-y-z=1\\ 2x+y+z=2
\end{array}\right.[/math]

da cui, sommando memebro a membro la prima equazione e la seconda si ottiene

[math]2x=2\ \Rightarrow\ x=1[/math]

che sostituito nella seconda (o nella terza equazione) porta a scrivere

[math]y+z=0[/math]

per cui anche in questo caso si hanno infinite soluzioni della forma

[math](1,y,-y)[/math]