Sistema eq. differenziali

[davide8111]

Ciao a tutti, dovrei risolvere questo esercizio di edo. Devo trovare l'integrale generale del sistema $Y '=AY+f(t)$

$A=[[0,1],[-4,0]]$ e $f(t)=[[0],[t]]$

Il procedimento che ho seguito è questo:

1) calcolo gli autovalori e autovettori per ricavarmi una soluzione omogenea

$A-\lambda*Id=[[-\lambda,1],[-4,-\lambda]]=\lambda^2+4 $

Autovalori:
$\lambda_1=2i$
$\lambda_2=-2i$

Gli autovettori associati all'autovalore $\lambda_1=2i$ sono
$x=-1/2i$
$y=1$
oppure
$x=-i$
$y=2$

Mentre gli autovettori associati all'autovalore $\lambda_2=-2i$ sono
$x=1/2i$
$y=1$
oppure
$x=i$
$y=2$

Mi riconduco ad un'equazione lineare del secondo oridine:

$x'=y$
$y'=-4x$

Risolvo in y e diventa $y=x'$ e differenziato diventa $x''=y'$ $rArr$ $x''=-4x$ $rArr$ $x''+4x=0$

Nel mio caso ho che $f(t)=[[0],[t]]$ quindi risolvo $x''+4x=-t$ utilizzando il metodo della simiglianza cercandola nella forma $at+b$. (Dovrebbe essere -t o +t ? )

$-4*(a*t+b)=t$ $rArr$ $-4a=1 e -4b=0$ $rArr$ $a=-1/4 e b=0$ Quindi la soluzione particolare è Y_part= -t/4
$x=c_1*cos(2t)+c_2*sin(2t)-t/4$

Le soluzioni di questo esercizio sono queste:

$Y(t)= [[x(t)],[y(t)]]$=$[[x(t)],[x'(t)]]=[[c_1*sin(2t)+c_2*cos(2t)+t/4],[2*c_1*cos(2t)-2*c_2*sin(2t)+1/4]]$

Non capisco la soluzione. Qualcuno mi uo aiutare?

[ciampax]

Non capisco perché perdi tempo a calcolare gli autovalori della matrice. Il sistema, scritto per esteso, è il seguente

$x'=y,\qquad y'=-4x+t$

Ora, visto che $y=x'$ si ha, sostituendo nella seconda, $x''=-4x+t$ e quindi l'equazione $x''+4x=t$. La soluzione dell'omogena associata $x''+4x=0$ risulta $x(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)$ in quanto il polinomio caratteristico $p(\lambda)=\lambda^2+4$ ha radici $\lambda=\pm 2i$. Per trovare una soluzione particolare, basta sceglierne una della forma $x_p(t)=at+b$ con $a,\ b\in RR$ da determinare. Poiché $x'_p(t)=a,\ x''_p(t)=b$ sostituendo nell'equazione si trova

$0+4at+4b=t\ \Rightarrow\ a=1/4,\ b=0$

e quindi la soluzione particolare $x_p(t)=t/4$ e la soluzione completa $x(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+t/4$. Per trovare l'altra basta derivare questa soluzione:

$y(t)=x'(t)=-2C_1\sin(2t)+2c_2\cos(2t)+1/4$.

[davide8111]

Ho quasi sempre usato il metodo di variazione delle costanti. Usando il metodo di somiglianza mi è tornato molto piu comodo per questo esercizio. Ho provato con il metodo di variazione delle costanti ma conti troppo lunghi. Il metodo di somiglianza lo posso usare sempre? Grazie mille

[ciampax]

Solo se il termine noto è un polinomio, una funzione trigonometrica di tipo $a\sin(bx)+c\cos(dx)$ o un esponenziale del tipo $e^{ax}$ (o loro combinanzioni varie), altrimenti no.