Sistema eq differenziali
Ciao a tutti,
Non mi ricordo di preciso l'esercizio che ci fece il professore (non di matematica), ma ad un certo punto arrivammo a questo sistema:
$$\frac {df} {dt} = -k_1f(t)g(t)$$
$$\frac {dg} {dt} = -k_2f(t)g(t)$$
ed il professore, per risolvere disse (e fece) una cosa del genere:
"Adesso facciamo una cosa che ai matematici non piacerà per nulla, ma a noi fa comodo: dividendo le due equazioni otteniamo
$$\frac {df}{dg} = \frac{k1}{k_2}$$".
Mi potreste spiegare un attimo come giustificare rigorosamente questa "stregoneria"?
Grazie
Ric
Non mi ricordo di preciso l'esercizio che ci fece il professore (non di matematica), ma ad un certo punto arrivammo a questo sistema:
$$\frac {df} {dt} = -k_1f(t)g(t)$$
$$\frac {dg} {dt} = -k_2f(t)g(t)$$
ed il professore, per risolvere disse (e fece) una cosa del genere:
"Adesso facciamo una cosa che ai matematici non piacerà per nulla, ma a noi fa comodo: dividendo le due equazioni otteniamo
$$\frac {df}{dg} = \frac{k1}{k_2}$$".
Mi potreste spiegare un attimo come giustificare rigorosamente questa "stregoneria"?
Grazie
Ric
Risposte
Non si può giustificare una cosa simile 
A parte gli scherzi(mica tanto), penso intendesse questo:
supponiamo che $f$ non si annulli mai e che $k_1 ne0$ allora possiamo scrivere
sostituendo alla seconda
non annullandosi mai $f$ non può annullarsi nemmeno $f'$ pertanto è possibile dividere per $f'$
facendo le considerazioni analoghe per $g$ si ottiene la relazione chiesta dal tuo professore
A parte gli scherzi(mica tanto), penso intendesse questo:
supponiamo che $f$ non si annulli mai e che $k_1 ne0$ allora possiamo scrivere
$-(f'(t))/(k_1f(t))=g(t)$
sostituendo alla seconda
$g'(t)=-k_2f(t)*(-(f'(t))/(k_1f(t)))=(k_2)/(k_1)f'(t)$
non annullandosi mai $f$ non può annullarsi nemmeno $f'$ pertanto è possibile dividere per $f'$
$(dg)/(df):=(g'(t))/(f'(t))=(k_2)/(k_1)$
facendo le considerazioni analoghe per $g$ si ottiene la relazione chiesta dal tuo professore
Grazie mille per la risposta. Per le condizioni imposte che $f$ e $g$ siano diverse da $0$ credo che la fisica del problema vietasse di per sé questo caso particolare ecco perché il professore non se ne è curato.
Il mio problema stava nel passaggio finale:
In pratica stai dicendo che la derivata di $g$ rispetto a $f$ è uguale al rapporto delle derivate di $g$ ed $f$ rispetto alla variabile $t$. E' questa una conseguenza della regola della catena (chain rule):
$$ \frac{dg}{df} = \frac{dg}{dt}\frac{dt}{df}$$ ?
Ps: Nel caso io avessi due derivate seconde al primo membro si potrebbe procedere? mi sto incartando...
Il mio problema stava nel passaggio finale:
"anto_zoolander":
$$\frac{dg}{df}:=\frac{g'(t)}{f'(t)}=\frac{k_2}{k_1}$$
In pratica stai dicendo che la derivata di $g$ rispetto a $f$ è uguale al rapporto delle derivate di $g$ ed $f$ rispetto alla variabile $t$. E' questa una conseguenza della regola della catena (chain rule):
$$ \frac{dg}{df} = \frac{dg}{dt}\frac{dt}{df}$$ ?
Ps: Nel caso io avessi due derivate seconde al primo membro si potrebbe procedere? mi sto incartando...
Non c'entra la regola della catena, quella riguarda la composizione di funzioni.
La mente dei fisici è infima e non bisogna fidarsi di loro
suppongo che abbia a che fare con il seguente fatto
in genere per una applicazione $f:E->RR$ dove $E$ è un aperto di uno spazio euclideo $(A,V)$ di dimensione $n$(se non ti è congeniale lo spazio euclideo puoi considerare $RR^n$) si considera differenziabile in $E$ se esiste una applicazione
tale che
tale applicazione prende il nome di differenziale e va da se che fissata una base $B={v_1,...,v_n}$ di $V$ tale applicazione sarà del tipo
dove $partial_kf(x)$ è la derivata di $f$ lungo il vettore $v_k$
invece $dx_k$ è l'applicazione lineare $V->RR$ che associa a un vettore la sua $k-$esima coordinata rispetto alla base $B$ ossia
dovrebbe esserti noto che il sistema $S={dx_1,...,dx_n}$ è una base dello spazio duale $V^(star)$ infatti per ogni base di $V$ fissata se ne fissa naturalmente una in $V^(star)$ con la proprietà che
questo per dirti che il differenziale di una funzione differenziabile è sempre combinazione lineare di differenziali, chiamiamoli, elementari. Infatti è facile mostrare come le funzioni $dx_j$ siano differenziali particolari ovvero i differenziali delle applicazioni
che associano ad un punto la $j-$esima coordinate del vettore $vec(OP)$ rispetto al riferimento $R(O,B)$[nota]ovviamente $O$ è l'origine del sistema di riferimento e $B$ la base dello spazio giacitura[/nota]
Tutto questo è molto bello, ma ti starai chiedendo perchè te l'ho detto, giusto?
Seguimi e vediamo se arriviamo a dar senso a quello che i fisici dicono(tipo tappabuchi)
Prendiamo $(RR,RR_V)$ come spazio euclideo dove consideriamo una volta $RR$ come insieme di punti, il primo, e una volta $RR:=RR_V$ come spazio vettoriale normato con riferimento dato da origine $O=0_(RR)$ base $B={1_RR}$ e prodotto scalare $<> = x*y$ dove $x*y$ è il semplice prodotto su $RR$ nonché il prodotto scalare standard di $RR^n$ considerato per $n=1$
allora otteniamo che la base duale di $RR^(star)$ sarà semplicemente data dal funzionale
$dx(h)=(1)*(h)_B=h$ che è il differenziale della funzione
di fatto per costruzione tale applicazione associa ad un vettore $h$ la sua unica componente che essendo $h-0=h*1$ sarà $h$ stesso
a questo punto segue che $df(x)=f'(x)dx$
questo è lungi dal giustificare formalmente la scrittura $(df(x))/(dx)=f'(x)$ in quanto quel simbolo indica un limite mentre la scrittura $df(x)=f'(x)dx$ indica una forma differenziale lineare meglio definita come
ora però essendo i differenziali $df:E->V^(star)$ applicazioni lineari che associano a $x|-> df(x):V->RR$ di fatto quantità che associano a un valore reale, è possibile considerare il loro rapporto come
quindi si può giustificare il fatto che il rapporto di due differenziali calcolati in un vettore $h$ sia uguale costantemente al valore del rapporto tra le derivate
penso infatti che $df$ indichi, per brevità, la quantità $df(x)(h)$ altrimenti non avrebbe alcun senso in quanto la scrittura $(df(x))/(dg(x))$ indicherebbe un rapporto tra due applicazioni lineari che essendo vettori dello spazio duale non vedono definito un rapporto.
Spero sia soddisfacente e per la seconda richiesta ti chiederei un esempio.
La mente dei fisici è infima e non bisogna fidarsi di loro
suppongo che abbia a che fare con il seguente fattoin genere per una applicazione $f:E->RR$ dove $E$ è un aperto di uno spazio euclideo $(A,V)$ di dimensione $n$(se non ti è congeniale lo spazio euclideo puoi considerare $RR^n$) si considera differenziabile in $E$ se esiste una applicazione
$df:E->V^(star)$ dove $V^(star)$ è il duale di $V$
tale che
$forall x in E, lim_(h->0)(f(x+h)-f(x)-df(x)(h))/(||h||)=0$
tale applicazione prende il nome di differenziale e va da se che fissata una base $B={v_1,...,v_n}$ di $V$ tale applicazione sarà del tipo
$df(x)=sum_(k=1)^(n)partial_kf(x)dx_k$
dove $partial_kf(x)$ è la derivata di $f$ lungo il vettore $v_k$
invece $dx_k$ è l'applicazione lineare $V->RR$ che associa a un vettore la sua $k-$esima coordinata rispetto alla base $B$ ossia
$dx_k(h)=E^k*h_B=h_k$
dovrebbe esserti noto che il sistema $S={dx_1,...,dx_n}$ è una base dello spazio duale $V^(star)$ infatti per ogni base di $V$ fissata se ne fissa naturalmente una in $V^(star)$ con la proprietà che
$dx_k(v_j)=delta_(kj)$ dove la $delta$ è quella di Kronecker
questo per dirti che il differenziale di una funzione differenziabile è sempre combinazione lineare di differenziali, chiamiamoli, elementari. Infatti è facile mostrare come le funzioni $dx_j$ siano differenziali particolari ovvero i differenziali delle applicazioni
$x_j(P)=E^(j)*vec(OP)_B$
che associano ad un punto la $j-$esima coordinate del vettore $vec(OP)$ rispetto al riferimento $R(O,B)$[nota]ovviamente $O$ è l'origine del sistema di riferimento e $B$ la base dello spazio giacitura[/nota]
Tutto questo è molto bello, ma ti starai chiedendo perchè te l'ho detto, giusto?
Seguimi e vediamo se arriviamo a dar senso a quello che i fisici dicono(tipo tappabuchi)
Prendiamo $(RR,RR_V)$ come spazio euclideo dove consideriamo una volta $RR$ come insieme di punti, il primo, e una volta $RR:=RR_V$ come spazio vettoriale normato con riferimento dato da origine $O=0_(RR)$ base $B={1_RR}$ e prodotto scalare $<
allora otteniamo che la base duale di $RR^(star)$ sarà semplicemente data dal funzionale
$dx(h)=(1)*(h)_B=h$ che è il differenziale della funzione
$x:RR_V->RR$ che associa $x(h)=h$
di fatto per costruzione tale applicazione associa ad un vettore $h$ la sua unica componente che essendo $h-0=h*1$ sarà $h$ stesso
a questo punto segue che $df(x)=f'(x)dx$
questo è lungi dal giustificare formalmente la scrittura $(df(x))/(dx)=f'(x)$ in quanto quel simbolo indica un limite mentre la scrittura $df(x)=f'(x)dx$ indica una forma differenziale lineare meglio definita come
$df(x)(h)=f'(x)dx(h)=f'(x)*h$
ora però essendo i differenziali $df:E->V^(star)$ applicazioni lineari che associano a $x|-> df(x):V->RR$ di fatto quantità che associano a un valore reale, è possibile considerare il loro rapporto come
$(df)/(dg):=(df(x)(h))/(dg(x)(h))=(f'(x)*dx(h))/(g'(x)*dx(h))=(f'(x)*h)/(g'(x)*h)=(f'(x))/(g'(x))$
quindi si può giustificare il fatto che il rapporto di due differenziali calcolati in un vettore $h$ sia uguale costantemente al valore del rapporto tra le derivate
penso infatti che $df$ indichi, per brevità, la quantità $df(x)(h)$ altrimenti non avrebbe alcun senso in quanto la scrittura $(df(x))/(dg(x))$ indicherebbe un rapporto tra due applicazioni lineari che essendo vettori dello spazio duale non vedono definito un rapporto.
Spero sia soddisfacente e per la seconda richiesta ti chiederei un esempio.
Ti ringrazio enormemente per la spiegazione, ma temo di non riuscire a starti dietro. 
Le mie competenze da ingegnere (quindi anche inferiori a quelle di un fisico ) non sono sufficienti. Ti prometto solennemente che, visto l'impegno che hai messo nella risposta, studierò e cercherò di comprendere quello che hai cercato di comunicarmi, ma purtroppo non credo che la mia comprensione avverrà in tempi brevi.
Grazie ancora!
Le mie competenze da ingegnere (quindi anche inferiori a quelle di un fisico ) non sono sufficienti. Ti prometto solennemente che, visto l'impegno che hai messo nella risposta, studierò e cercherò di comprendere quello che hai cercato di comunicarmi, ma purtroppo non credo che la mia comprensione avverrà in tempi brevi. Grazie ancora!
Ciao dRic
[ot]mi dispiace che tu faccia ingegneria ti sono vicino, anche la mia ragazza ha fatto lo stesso sbaglio [/ot]
diciamo che quanto scritto giustificherebbe quello che intendeva il tuo professore, spero che comunque potrà tornarti utile in un futuro
Tornando al problema, sei riuscito a risolvere il sistema?
[ot]mi dispiace che tu faccia ingegneria
ti sono vicino, anche la mia ragazza ha fatto lo stesso sbaglio [/ot]diciamo che quanto scritto giustificherebbe quello che intendeva il tuo professore, spero che comunque potrà tornarti utile in un futuro
Tornando al problema, sei riuscito a risolvere il sistema?
Off Topic
Il problema me l'ero inventato più che altro per impratichirmi con questo trucchetto. Dopo comunque diventa un integrale relativamente facile, dopo un po' di calcoli si risolve, ma non era quella l'obiettivo primario.
Volevo anche capire la differenza tra l'esempio proposto e quest'altro:
$$\frac{d^2f}{dt^2} = -k_1f(t)g(t)$$
$$\frac{d^2g}{dt^2} = -k_2f(t)g(t)$$
Secondo me non è più risolvibile con un trucchetto del genere...
Il problema me l'ero inventato più che altro per impratichirmi con questo trucchetto. Dopo comunque diventa un integrale relativamente facile, dopo un po' di calcoli si risolve, ma non era quella l'obiettivo primario.
Volevo anche capire la differenza tra l'esempio proposto e quest'altro:
$$\frac{d^2f}{dt^2} = -k_1f(t)g(t)$$
$$\frac{d^2g}{dt^2} = -k_2f(t)g(t)$$
Secondo me non è più risolvibile con un trucchetto del genere...
[ot]purtoppo la matematica viene insegnata male quasi ovunque pur essendo alla base di quasi tutte le discipline scientifiche[/ot]
Ti dirò, vale in generale, per sistemi del tipo
Di fatti assumendo sempre le stesse ipotesi si ottiene
Da cui sostituendo nella seconda
Ti dirò, vale in generale, per sistemi del tipo
${(f^((n))(x)=kf(x)g(x)),(g^((n))(x)=hf(x)g(x)):}$
Di fatti assumendo sempre le stesse ipotesi si ottiene
$g(x)=(f^((n))(x))/(kf(x))$
Da cui sostituendo nella seconda
$(g^((n))(x))/(f^((n))(x))=h/k$
Considera che a meno di porre $h/k=c$ e $cf(x)=h(x)$
Quindi usando il fatto che due primitive coincidono a meno di una costante
Quindi $g$ deve avere questa forma, chiaramente per $ngeq1$
Nel primo caso con $n=1$ si riduce banalmente a
Nel secondo con $n=2$ si riduce a
Va da se che la difficoltà del problema sale con il grado di derivazione
$g^((n))(x)=cf^((n))(x)=h^((n))(x)$
Quindi usando il fatto che due primitive coincidono a meno di una costante
$g(x)=h(x)+sum_(i=0)^(n-1)(c_i)/(i!)x^i=h/k f(x)+sum_(i=0)^(n-1)(c_i)/(i!)x^i$
Quindi $g$ deve avere questa forma, chiaramente per $ngeq1$
Nel primo caso con $n=1$ si riduce banalmente a
$g(x)=h/k f(x)+c_0$
Nel secondo con $n=2$ si riduce a
$g(x)=h/k f(x)+c_0+c_1x$
Va da se che la difficoltà del problema sale con il grado di derivazione
Allora, grazie di avermi indirizzato sulla giusta strada. Mi sono riandato a studiare bene la definizione di differenziale e il suo legame con la derivata anche se il linguaggio da te usato certe volte esula le mie competenze. Nel complesso però credo di aver afferrato il concetto ed in effetti, per quanto concerne il primo caso, il risultato
$$ \frac{dg}{df} := \frac{g'(x)}{f'(x)}$$
discende semplicemente dall'applicazione del teorema del differenziale. Corretto?
Adesso cerco di applicare quello che appreso alle derivate successive per ricavare il tuo risultato
$$ \frac{dg}{df} := \frac{g'(x)}{f'(x)}$$
discende semplicemente dall'applicazione del teorema del differenziale. Corretto?
Adesso cerco di applicare quello che appreso alle derivate successive per ricavare il tuo risultato
Le notazioni che ho usato sono standard, forse l’unica cosa è stata quella di tenere separati $RR$ come insieme di punti e $RR:=RR_V$ come spazio vettoriale per fare l’esempio.
Se qualche notazione non ti è chiara puoi chiedere e cerco di spiegarti il senso
Diciamo che la scrittura $df(x)$ va intesa come $f’(x)dx$ nel linguaggio delle forme differenziali
Se qualche notazione non ti è chiara puoi chiedere e cerco di spiegarti il senso
Diciamo che la scrittura $df(x)$ va intesa come $f’(x)dx$ nel linguaggio delle forme differenziali
Non ci vedo niente di male in quelle scritture, sono più immediate, è così che si fa quando le questioni non sono elementari, e sarebbe meglio imparare quei metodi piuttosto di quella roba sulla definizione formale di differenziale o altro. In qualsiasi campo applicativo ma anche teorico nessuno usa quello che dice anto_zoolander...che è del tipo "impara l'arte e mettila da parte".
Quando hai un sistema del tipo $f''=-k_1f(t)g(t)$, $g''=-k_2f(t)g(t)$, basta sostituire $f'=h$ e $g'=i$ e ti riconduci al caso precedente.
La consapevolezza degli strumenti utilizzati è qualcosa che non fa parte di voi ingegneri, purtroppo.
Se un ragazzo si ripropone di capire, non c’è nulla di male e a me piace condividere ciò che conosco.
A me piace studiare in maniera approfondita per sfruttarne al meglio le applicazioni, ognuno ha il suo metodo no?
Se un ragazzo si ripropone di capire, non c’è nulla di male e a me piace condividere ciò che conosco.
A me piace studiare in maniera approfondita per sfruttarne al meglio le applicazioni, ognuno ha il suo metodo no?
Non capisco tutto questo rancore verso fisici, ingegneri o altro...se fai matematica mica ti devi uniformare allo stereotipo del matematico che odia tutto e tutti, anche e sprattutto perché la storia dice il contrario, [hide="Commento offensivo nei riguardi di un utente"]non stare a sentire quelle cazzate di killingbudda[/hide].
Ma io non ho nulla contro fisici e ingegneri, faccio solo dell’ironia.
Del resto è vero, l’ingegnere ha una discreta infarinatura di tutto, per questo non concepisco perché criticare chi vuole andare più a fondo nel formalismo matematico(chiaramente io son di parte). Che poi sia utile o meno per l’individuo, deve essere lui a stabilirlo.
Penso che sia proprio la diversità degli studi e di forma mentis a rendere bello il dialogo tra le varie scuole di pensiero, nulla a che vedere con Killing in quanto la pensiamo nettamente in maniera diversa.
Del resto è vero, l’ingegnere ha una discreta infarinatura di tutto, per questo non concepisco perché criticare chi vuole andare più a fondo nel formalismo matematico(chiaramente io son di parte). Che poi sia utile o meno per l’individuo, deve essere lui a stabilirlo.
Penso che sia proprio la diversità degli studi e di forma mentis a rendere bello il dialogo tra le varie scuole di pensiero, nulla a che vedere con Killing in quanto la pensiamo nettamente in maniera diversa.
[hide="Commento non pertinente alla discussione"]
No no, non hai proprio capito: è che mi stai sul **** tu in particolare.[/hide]
"Vulplasir":
Non capisco tutto questo rancore verso fisici, ingegneri o altro...se fai matematica mica ti devi uniformare allo stereotipo del matematico che odia tutto e tutti, anche e sprattutto perché la storia dice il contrario, non stare a sentire quelle cazzate di killingbudda.
No no, non hai proprio capito: è che mi stai sul **** tu in particolare.[/hide]
[hide="Commento non pertinente alla discussione."]Ma vai a lavorare[/hide]
[xdom="gugo82"]@k_b & Vulplasir: Esistono i PM e le segnalazioni ai moderatori per regolare queste faccende.
Siete utenti esperti e dovreste saperlo.
Sospensione in arrivo per entrambi.
Ed è l'ultima volta.[/xdom]
Siete utenti esperti e dovreste saperlo.
Sospensione in arrivo per entrambi.
Ed è l'ultima volta.[/xdom]
"Vulplasir":
Non ci vedo niente di male in quelle scritture, sono più immediate, è così che si fa quando le questioni non sono elementari, e sarebbe meglio imparare quei metodi piuttosto di quella roba sulla definizione formale di differenziale o altro.
I metodi di calcolo funzionano perché sono coerenti con una teoria di base, i cui elementi sono definiti formalmente.
Nel caso in esame, non piace molto nemmeno a me il modo in cui è stata formalizzata la cosa da anto_zoolander: non credo che ci sia bisogno di tutto quel casino per giustificare il passaggio... Probabilmente basta ricorrere in maniera creativa al teorema del Dini o affini, ma non mi ci sono messo a pensare.
Insomma, mi sa che, lavorandoci un po', la questione si risolve in maniera più semplice.
"Vulplasir":
In qualsiasi campo applicativo ma anche teorico nessuno usa quello che dice anto_zoolander...che è del tipo "impara l'arte e mettila da parte".
Qual è l'ultimo lavoro sulle equazioni differenziali che hai letto?
Qualcosa del 1780, o giù di lì?
@gugo
ci sono andato alla lunga, ma in realtà si poteva chiudere in due righe.
Infatti quanto ho scritto è quasi tutta una premessa che può essere semplicemente essere riassunta in
non aveva nulla a che vedere con la soluzione del problema, che appunto poteva essere risolta semplicemente con qualche teorema, mi sono dilungato un po' sulla spiegazione del significato di $(df)/(dg)$
però ne è uscito qualcosa di carino dai
ci sono andato alla lunga, ma in realtà si poteva chiudere in due righe.
Infatti quanto ho scritto è quasi tutta una premessa che può essere semplicemente essere riassunta in
"anto_zoolander":
la scrittura $ df(x) $ va intesa come $ f’(x)dx $ nel linguaggio delle forme differenziali
non aveva nulla a che vedere con la soluzione del problema, che appunto poteva essere risolta semplicemente con qualche teorema, mi sono dilungato un po' sulla spiegazione del significato di $(df)/(dg)$
però ne è uscito qualcosa di carino dai
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