Sistema eq differenziali
Ciao a tutti,
Non mi ricordo di preciso l'esercizio che ci fece il professore (non di matematica), ma ad un certo punto arrivammo a questo sistema:
$$\frac {df} {dt} = -k_1f(t)g(t)$$
$$\frac {dg} {dt} = -k_2f(t)g(t)$$
ed il professore, per risolvere disse (e fece) una cosa del genere:
"Adesso facciamo una cosa che ai matematici non piacerà per nulla, ma a noi fa comodo: dividendo le due equazioni otteniamo
$$\frac {df}{dg} = \frac{k1}{k_2}$$".
Mi potreste spiegare un attimo come giustificare rigorosamente questa "stregoneria"?
Grazie
Ric
Non mi ricordo di preciso l'esercizio che ci fece il professore (non di matematica), ma ad un certo punto arrivammo a questo sistema:
$$\frac {df} {dt} = -k_1f(t)g(t)$$
$$\frac {dg} {dt} = -k_2f(t)g(t)$$
ed il professore, per risolvere disse (e fece) una cosa del genere:
"Adesso facciamo una cosa che ai matematici non piacerà per nulla, ma a noi fa comodo: dividendo le due equazioni otteniamo
$$\frac {df}{dg} = \frac{k1}{k_2}$$".
Mi potreste spiegare un attimo come giustificare rigorosamente questa "stregoneria"?
Grazie
Ric
Risposte
È che a te ti piace troppo ... fare dimostrazioni in questo modo ... 
[
Qual è l'ultimo lavoro sulle equazioni differenziali che hai letto?
Qualcosa del 1780, o giù di lì?
se per dire che df=f'dx parlano di spazi duali, metriche o quant'altro, preferisco leggere altro
Ma non puoi preferire il dire ‘variazione infinitesima’
Apri il De Marco o qualsiasi testo serio di Analisi II e troverai cose del genere...
Boh, son gusti
Apri il De Marco o qualsiasi testo serio di Analisi II e troverai cose del genere...
Boh, son gusti
@Vulplasir: Ma allora, invece di spararle grosse su argomenti che non conosci minimamente, non sarebbe meglio se non postassi? 
Certo, se ti limiti a vedere il caso banale di funzioni reali di una variabile, non ha molto senso questo approccio; analogamente, per funzioni di più variabili.
Tuttavia, capire questo approccio nel caso banale è di grande aiuto quando si passa a descrivere modelli per problemi più complessi, in cui il formalismo della Geometria Differenziale o le tecniche dell'Analisi Funzionale sono indispensabili.
"Vulplasir":
Qual è l'ultimo lavoro sulle equazioni differenziali che hai letto?
Qualcosa del 1780, o giù di lì?
se per dire che df=f'dx parlano di spazi duali, metriche o quant'altro, preferisco leggere altro
Certo, se ti limiti a vedere il caso banale di funzioni reali di una variabile, non ha molto senso questo approccio; analogamente, per funzioni di più variabili.
Tuttavia, capire questo approccio nel caso banale è di grande aiuto quando si passa a descrivere modelli per problemi più complessi, in cui il formalismo della Geometria Differenziale o le tecniche dell'Analisi Funzionale sono indispensabili.
"gugo82":
@Vulplasir: Ma allora, invece di spararle grosse su argomenti che non conosci minimamente, non sarebbe meglio se non postassi?
[ot]La stessa cosa che ho detto io (a meno di un'opportuna omotopia tra i due commenti).
...Ma quindi aspetta, se metto in ot la risposta, posso offendergli la sorella?[/ot]
[hide="."]Perché per parlare di equazioni differenziali bisogna essere "matematici" ora? Se invece di fare a gara a chi ce l'ha piu lungo tra analisti a algebristi (o a introdurre "l'io" nella matematica... 
)vi rendeste utili in qualche modo con le equazioni di Navier-Stokes per esempio sarebbe già qualcosa...
Io se voglio te la offendo puro senza ot[/hide]
)vi rendeste utili in qualche modo con le equazioni di Navier-Stokes per esempio sarebbe già qualcosa...Ma quindi aspetta, se metto in ot la risposta, posso offendergli la sorella?
Io se voglio te la offendo puro senza ot[/hide]
@k_b: No.
E ti ricordo che non sei nella posizione di scherzare su questi argomenti.
E ti ricordo che non sei nella posizione di scherzare su questi argomenti.
Io non capisco perché tutto questo casino debba essere partito da un mio contributo verso un utente, se non lo si condivide proponete altro, ma non disprezzate(anche perché non mi sembra di aver scritto fesserie).
$(df)/(dg)=k_1/k_2$
$df=k_1/k_2dg$
$f=k_1/k_2g+c$
Con le condizioni iniziali su f e g trovo c...ci coleva tanto?
$df=k_1/k_2dg$
$f=k_1/k_2g+c$
Con le condizioni iniziali su f e g trovo c...ci coleva tanto?
Se invece di f(t) e g(t) si avesse avuto qualche funzione meno intuitiva come te lo saresti spiegato?...se l'equazione fosse stata $(dU)/(dP)=cost$ con U energia interna e P pressione...hai voglia a parlare di spazi duali in termodinamica...Quello che sto cercando di dire è che non sempre è possibile dare una spiegazione "formale" ai vari "d" che si utilizzano, e che sarebbe bene abituarsi a questa cosa e non vederla come un problema.
Ma infatti lui non voleva sapere come risolverla ma aver spiegato cosa stesse dietro $(df)/(dg)$
È ovvio che la risoluzione fosse banalmente quella
Se avesse avanzato un problema fisico, non mi sarei cimentato in quella spiegazione(anche se penso che per quantità fisiche legate a funzioni scalari si possa fare lo stesso ragionamento)
È ovvio che la risoluzione fosse banalmente quella
Se avesse avanzato un problema fisico, non mi sarei cimentato in quella spiegazione(anche se penso che per quantità fisiche legate a funzioni scalari si possa fare lo stesso ragionamento)
Si ma l'OP dopo questa discussione se n'è uscito con l'idea che a lui hanno insegnato tutte cose sbagliate e che la verità si insegni solo a matematica, quando invece non è affatto così. Il dubbio dell'OP deriva solamente da una sua mancanza, in qualsiasi corso di analisi (si, anche a ingegneria) parlano di differenziali di funzioni e insegnano anche a manipolarli, nel bene o nel male, il quesito in questione era elementare. Tu invece gli hai risposto come se la questione fosse cruciale e non si potesse vivere senza, quando in realtà l'argomento fa parte di corsi di geometria differenziale o altro, quindi non presente minimamente nel corso di studi di qualsiasi ingegneria, da cui sono partiti i "mi dispiace che studi ingegneria"..."condoglianze" etc, come se fosse una questione di vita o di morte.
Gli ho risposto come ho sentito di fare, poi chiunque altro può rispondere in altro modo.
Se non è stato soddisfatto o ha trovato difficile la risposta come ha ben fatto notare, da la possibilità a chiunque di chiarirgli le idee. Mica quì vige il ‘rispondo per primo, teorritorio mio’
Vulpla ma ti sono mai sembrato classista in questi anni? Mi piace scherzare, non puoi recepirlo sempre male!
Se non è stato soddisfatto o ha trovato difficile la risposta come ha ben fatto notare, da la possibilità a chiunque di chiarirgli le idee. Mica quì vige il ‘rispondo per primo, teorritorio mio’
Vulpla ma ti sono mai sembrato classista in questi anni? Mi piace scherzare, non puoi recepirlo sempre male!
"Vulplasir":
Il dubbio dell'OP deriva solamente da una sua mancanza, in qualsiasi corso di analisi (si, anche a ingegneria) parlano di differenziali di funzioni e insegnano anche a manipolarli, nel bene o nel male, il quesito in questione era elementare.
Non voglio giustificarmi perché, come avrai visto da molti miei altri post, sono parecchio scarso, però nel nostro corso di analisi 1 non si accennava minimamente ai differenziali e non ci è mai stata data una definizione rigorosa nemmeno in analisi 2. Me li sono studiati un po' alla buona per conto mio, ma non ho mai affrontato il concetto in maniera rigorosa perché nei casi che ho incontrato la trattazione con i differenziali è stata, in generale, abbastanza intuitiva. Il post, per quanto banale, era un autoincentivo ad approfondire e far luce su un argomento che non avevo chiarissimo.
"Vulplasir":
Si ma l'OP dopo questa discussione se n'è uscito con l'idea che a lui hanno insegnato tutte cose sbagliate e che la verità si insegni solo a matematica, quando invece non è affatto così.
No. Il mio era un discorso diverso. Io volevo far notare che la matematica dell'ingegneria, per quanto corretta, non è penetrata dallo stesso rigore di quella dei matematici - e tu dirai che è ovvio-. Il punto è che la matematica degli ingegneri (o dei fisici) serve a "fare conti" e quindi è più assimilabile a una cassetta degli attrezzi che uno apre nei momenti di necessità tira fuori quello che gli serve e ripone. Non c'è bisogno che la cassetta sia ordinata o che gli strumenti impiegati siano i migliori (se fosse, meglio!, ma non è necessario). Non voleva essere una critica, ma una mera constatazione.
Colgo l'occasione per cercare di togliermi un ultimo dubbio:
ma, in generale, con la notazione $$\frac{df}{dx}$$ si intente un rapporto tra differenziali o si intende "applica l'operatore $\frac{d}{dx}$ alla funzione $f$"?
Perché a me sembrano due cose diverse, ma magari son la stessa cosa e non la capisco io.
ma, in generale, con la notazione $$\frac{df}{dx}$$ si intente un rapporto tra differenziali o si intende "applica l'operatore $\frac{d}{dx}$ alla funzione $f$"?
Perché a me sembrano due cose diverse, ma magari son la stessa cosa e non la capisco io.
Sotto correzione di Gugo et similia:
Con la notazione $(df(x))/(dx)|_(x0)$ si indica la derivata della funzione reale di variabile reale $f(x)$ nel punto $x_0$ , ammesso che esista. Deve cioè esistere , finito, il limite del rapporto incrementale:
$(f(x) -f(x_0))/(x-x_0) $
della funzione quando $x$ tende ad $x_0$.
La notazione della derivata : $(df)/(dx)$ è dovuta a Leibnitz.
Molto spesso, i fisici e , neanche a dirlo, gli ingegneri, poveracci, lo trattano come un rapporto, suscitando le giuste rimostranze dei puri. Ma non tutti sono peccatori.
Attendo rettifiche.
Con la notazione $(df(x))/(dx)|_(x0)$ si indica la derivata della funzione reale di variabile reale $f(x)$ nel punto $x_0$ , ammesso che esista. Deve cioè esistere , finito, il limite del rapporto incrementale:
$(f(x) -f(x_0))/(x-x_0) $
della funzione quando $x$ tende ad $x_0$.
La notazione della derivata : $(df)/(dx)$ è dovuta a Leibnitz.
Molto spesso, i fisici e , neanche a dirlo, gli ingegneri, poveracci, lo trattano come un rapporto, suscitando le giuste rimostranze dei puri. Ma non tutti sono peccatori.
Attendo rettifiche.
@Shakle, fin qui ci sono ed è come l'ho sempre intesa io. In questo caso $\frac{d}{dx}$ è un operatore, ovvero l'operatore di derivazione rispetto a $x$. Tuttavia, a seguito dell'approfondimento sui differenziali, mi è sorto il dubbio che in realtà si intenda $df$ diviso $dx$ in quando $df = f'(x)dx$. A questo punto però secondo me la cosa diventa ambigua perché non riesco a spiegarmi la "scrittura" delle derivate di ordine superiore. (E' solo un problema formale il mio adesso).
dal punto di vista formale non è un problema molto semplice.
la scrittura $df(x)=f'(x)dx$ di fatto è una forma differenziale lineare mentre $(df)/(dx)$ è l'operatore di derivazione.
La differenza risiede sostanzialmente che il differenziale $df(x):RR->RR$ è l'unica funzione lineare che soddisfa
o equivalentemente
questa differenza si nota meglio aumentando la dimensione dello spazio
Per studiare in dettaglio differenziali e differenziali di ordine superiore c'è un ottimo libro che è: 'Undergraduate Analysis' di Serge Lang al capitolo 'derivative in vector space'(su buon consiglio di Dissonance).
la scrittura $df(x)=f'(x)dx$ di fatto è una forma differenziale lineare mentre $(df)/(dx)$ è l'operatore di derivazione.
La differenza risiede sostanzialmente che il differenziale $df(x):RR->RR$ è l'unica funzione lineare che soddisfa
$f(x+h)-f(x)=df(x)(h)+o(h)$
o equivalentemente
$lim_(h->0)(f(x+h)-f(x)-df(x)(h))/h=0$
questa differenza si nota meglio aumentando la dimensione dello spazio
Per studiare in dettaglio differenziali e differenziali di ordine superiore c'è un ottimo libro che è: 'Undergraduate Analysis' di Serge Lang al capitolo 'derivative in vector space'(su buon consiglio di Dissonance).
Grazie per il consiglio, controllerò il suddetto testo
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