Sistema differenziale omogeneo a coefficienti costanti

[tom19.83]

Salve!
Qualcuno saprebbe spiegarmi come si risolve questo sistema differenziale omogeneo a coefficienti costanti?
y1' = y1 - y2
y2' = y1 + 3y2
In particolare, come vanno trattate le molteplicità?
Thanxs.

[tom19.83]

Nessuno mi aiuta?

[franced]

"tom19.83":Salve!
Qualcuno saprebbe spiegarmi come si risolve questo sistema differenziale omogeneo a coefficienti costanti?
y1' = y1 - y2
y2' = y1 + 3y2
In particolare, come vanno trattate le molteplicità?
Thanxs.

Cambio la notazione:

$x' = x - y$
$y' = x + 3y$

derivo la prima:

$x'' = x' - y'$

sostituisco y' dalla seconda:

$x'' = x' - (x+3y)$

sostituisco $x - x'$ al posto di $y$ (dalla prima):

$x'' = x' - x - 3y = x' - x - 3 (x - x') = x' - x - 3x + 3x' = 4x' - 4x$

l'equazione diventa:

$x'' = 4x' - 4x$

e poi risolvi normalmente.

Francesco Daddi

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Altrimenti c'è il metodo della matrice esponenziale e del sistema fondamentale di soluzioni.
Bisogna calcolare qualche autovalore, ma l'equazione secolare è del secondo ordine e si dovrebbero vedere bene le molteplicità degli autovalori.