Sistema con infinite soluzioni

[paolocerrone97]

Buonasera, spero di essere nella sezione giusta.
Volevo sapere, dato un sistema di 3 equazioni e 4 incognite, e calcolato il rango della matrice dei coefficienti che è uguale a 3, questo significa che il sistema ammette infinite soluzione con un'incognita fissa, giusto?
Come faccio a sapere di quale si tratta?

[axpgn]

Premesso che il sistema potrebbe anche essere impossibile, l'incognita "libera" può essere quella che più ti piace ...

EDIT: mi è sfuggito che il rango della matrice dei coefficienti è $3$ quindi non può essere impossibile.

EDIT2: posta un esempio concreto

[axpgn]

Esempio:

Sistema di 3 equazioni in 4 incognite

${(2x_1-3x_2+x_3-6x_4=-7),(4x_1+x_2+2x_3+9x_4=-7),(3x_1+x_2+x_3+8x_4=-8):}$

Matrice

$((2,-3,1,-6,|,-7),(4,1,2,9,|,-7),(3,1,1,8,|,-8))$

Riduzione a scalini

$((1,0,0,2,|,-5),(0,1,0,3,|,1),(0,0,1,-1,|,6))$

Soluzioni

$x_1=-5-2x_4$
$x_2=1-3x_4$
$x_3=6+x_4$
$x_4=x_4$

L'incognita libera è $x_4$ ma basta, per esempio, ricavare $x_4$ dalla prima e sostituire nelle altre per avere $x_1$ come incognita libera, cioè ...


$x_1=x_1$
$x_2=1+3/2(x_1+5)$
$x_3=6-(x_1+5)/2$
$x_4=-(x_1+5)/2$

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Ecco invece un esempio diverso (come suggeritomi da orsoulx)

Partendo dallo stesso sistema precedente modifico il coefficiente di $x_1$ nella terza equazione da $3$ a $2$ ed ottengo queste soluzioni:

$x_1=7/4-x_3/2$
$x_2=17/2$
$x_3=x_3$
$x_4=-5/2$

In questo caso le incognite $x_2$ e $x_4$ sono fisse, non dipendono da altre ne fanno dipendere, ed è quindi ovvio che non possono essere libere ma neppure dipendenti, perciò l'incognita libera può essere solo una delle altre due.

Cordialmente, Alex