Sistema $CC$omplesso

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Alle prese con l'ennesimo sistema complesso... purtroppo sembrava che avessi fatto tutto bene ma la soluzione mi contraddice
A sistema:
$z^8 = 81$
$z^7 - 27z + \barz z^6 - 2\barz != 0 $

Nella prima trovo come soluzioni $z = sqrt(3)((k\pi)/4) , k = 0, ... , 7$
E fin qui mi trovo...
Il problema è nelle esclusioni delle soluzioni!!
Faccio diventare l'equazione $(z+\barz)(z^6-27) 0 0$ e così dovrei trovare quale escludere
1)
$z+\barz = 0 \hArr a = 0 \hArr Re(z) = 0
2)
$z^6 = 27 \hArr \rho = sqrt(3)$ e $\theta = (k\pi)/3$ giusto?? ma questa non mi esclude nessuna soluzione!!!
mentre nella soluzione che mi da il testo oltre ad escludere quelle con Re(z) = 0 mi esclude anche le soluzioni con parte Immaginaria = 0 a...
Perchè??

[Camillo]

Considerando le soluzioni dell'equazione si ha che per $k=0,k=4 $ si ottengono le radici $z= sqrt(3),z=-sqrt(3) $ , valori però vietati dall'altra relazione , quando $k=0,k=3 $.
Sono quindi vietate la soluzioni con parte immaginaria nulla ( ed anche con parte reale nulla ).

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Aspetta scusami... k=0, k =3 mi escludono quelli che nella prima trovavo con k=0 e k= 4 giusto?? e fin qui ci sono... ora non capisco che c'entri la parte immaginaria... per fare ciò non mi dovrebbe venire un angolo di $\pi/2 + k\pi$??

[Camillo]

Se $k=0,k=3 $ nella seconda relazione, le radici corrispondenti da escludere sono :

$z=sqrt(3)[ cos0 +isen0 ] = sqrt(3)+i0 $
$z= sqrt(3)[ cos pi +i sen pi ]=-sqrt(3) +i 0

che hanno appunto la parte immaginaria nulla .

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Giustissimo!!!!! Guarda mi ero perso per strada con gli angoli... gentilissimo!!!!