Sinx=x
Ciao a tutti, scusate le mie frequenti domande, ma me ne è venuta un'altra:
come posso risolvere un equazione del tipo
$sinx=x$ ?
Grazie
come posso risolvere un equazione del tipo
$sinx=x$ ?
Grazie
Risposte
Questa è molto facile... L'unica soluzione è $x=0$,
basta osservare i grafici delle due funzioni.
basta osservare i grafici delle due funzioni.
una sola soluzione x=0
un'espressione che coinvolge formule trigonometriche e polinomi si può risolvere graficamente o numericamente.
in questo caso è però evidente che la soluzione è 0, non servono tanti sbattimenti!
EDIT: non avevo visto le vostre risposte, ragazzi. in ogni caso lascio anche questa a conferma dell'esattezza della nostra soluzione
in questo caso è però evidente che la soluzione è 0, non servono tanti sbattimenti!
EDIT: non avevo visto le vostre risposte, ragazzi. in ogni caso lascio anche questa a conferma dell'esattezza della nostra soluzione
Sarà evidente quanto volete, però propongo una dimostrazione rigorosa di ciò.
"Luca.Lussardi":
Sarà evidente quanto volete, però propongo una dimostrazione rigorosa di ciò.
Sono d'accordo? Be', certo che lo sono! Una dimostrazione fondata sulla contemplazione estatica di un grafico non è certamente una dimostrazione...
in $[-pi/2, pi/2]$ sinx e x sono entrambe monotone crescenti, quindi possono avere al massimo un punto di contatto. *
fuori da questo intervallo sinx è confinato tra -1 e 1 mentre y=x ha solo valori in modulo maggiori di pi/2.
è sufficiente?
*il fatto che abbiano un punto di contatto e non nessuno si può giustificare dicendo che f=x-sinx è anch'essa monotona, in $0+epsilon$ ha un valore di segno opposto a quello di $0-epsilon$... quindi per il teorema degli zeri....
fuori da questo intervallo sinx è confinato tra -1 e 1 mentre y=x ha solo valori in modulo maggiori di pi/2.
è sufficiente?
*il fatto che abbiano un punto di contatto e non nessuno si può giustificare dicendo che f=x-sinx è anch'essa monotona, in $0+epsilon$ ha un valore di segno opposto a quello di $0-epsilon$... quindi per il teorema degli zeri....
Per me si può applicare il teorema degli zeri
per provare l'esistenza e l'unicità della soluzione.
Poiché $f(x):=x-sinx$ è derivabile in $RR$, la
monotonia di $f$ può essere esaminata osservando
il segno della derivata prima:
$f'(x)=1-cosx>=0$ per ogni $x in RR$,
per cui $f$ risulta crescente nel suo dominio $RR$.
Osservando inoltre che $lim_(x->+oo) f(x) = +oo$
e $lim_(x->-oo) f(x) = -oo$, queste informazioni,
unite alla continuità e alla monotonia di $f$ nel suo dominio,
permettono di concludere che esiste una e una sola soluzione
dell'equazione $f(x)=0$.
per provare l'esistenza e l'unicità della soluzione.
Poiché $f(x):=x-sinx$ è derivabile in $RR$, la
monotonia di $f$ può essere esaminata osservando
il segno della derivata prima:
$f'(x)=1-cosx>=0$ per ogni $x in RR$,
per cui $f$ risulta crescente nel suo dominio $RR$.
Osservando inoltre che $lim_(x->+oo) f(x) = +oo$
e $lim_(x->-oo) f(x) = -oo$, queste informazioni,
unite alla continuità e alla monotonia di $f$ nel suo dominio,
permettono di concludere che esiste una e una sola soluzione
dell'equazione $f(x)=0$.
Mah, detto a parole c'è qualcosa di giusto e qualcosa no (per quanto afferma wedge).
Io farei così: la funzione $f(x)=senx-x$ vale $0$ per $x=0$ e ha derivata prima $cosx-1 \le 0$ per ogni $x \in \RR$. Dunque $f$ è non crescente e quindi $senx \leq x$ per ogni $x \geq 0$ e $f(x) \geq 0$ per ogni $x \leq 0$. Basta allora osservare che $senx$ non è costantemente $x$ in un intorno di $x=0$, e ciò discende dal Teorema di Lagrange.
Io farei così: la funzione $f(x)=senx-x$ vale $0$ per $x=0$ e ha derivata prima $cosx-1 \le 0$ per ogni $x \in \RR$. Dunque $f$ è non crescente e quindi $senx \leq x$ per ogni $x \geq 0$ e $f(x) \geq 0$ per ogni $x \leq 0$. Basta allora osservare che $senx$ non è costantemente $x$ in un intorno di $x=0$, e ciò discende dal Teorema di Lagrange.
Ti riferisci alla mia dimostrazione?
No, ho editato.
Poiché $f(x) = x - \sin(x)$ è una funzione dispari di $RR$ in sé, possiamo limitarci all'intervallo $[0,+\infty[$. Se $x > 1$, banalmente $f(x) > 0$. Se $x \in ]0,1]$, dallo sviluppo di MacLaurin del seno: $0 < \sin(x) < x$, e comunque $f(x) > 0$. Ne segue $x = \sin(x)$ sse $x = 0$.
Bella questa Salvatore! 
Ma nessuno mi ha detto se la mia è corretta... A me sembrerebbe di sì.
Ma nessuno mi ha detto se la mia è corretta... A me sembrerebbe di sì.
Vi ringrazio a tutti, comunque mi sono accorto poco dopo aver scritto che la soluzione in questo caso era banale.
Comunque non ho ancora affrontato ne derivate, ne studio di funzioni ne teorema di Langrange... quindi immagino che una dimostrazione a me comprensibile per ora non posso ottenerla, giusto?
Comunque a parte la dimostrazione di esistenza di soluzioni, sareste in grado di trovare il valore di x che soddisfa
$cosx=x$ ?
Questa credo sia meno banale della precedente.
Grazie a tutti, ciao
Comunque non ho ancora affrontato ne derivate, ne studio di funzioni ne teorema di Langrange... quindi immagino che una dimostrazione a me comprensibile per ora non posso ottenerla, giusto?
Comunque a parte la dimostrazione di esistenza di soluzioni, sareste in grado di trovare il valore di x che soddisfa
$cosx=x$ ?
Questa credo sia meno banale della precedente.
Grazie a tutti, ciao
"Reynolds":
Poiché $f(x):=x-sinx$ è derivabile in $RR$, la monotonia di $f$ può essere esaminata osservando il segno della derivata prima: $f'(x)=1-cosx>=0$ per ogni $x in RR$, per cui $f$ risulta crescente nel suo dominio $RR$. Osservando inoltre che $lim_(x->+oo) f(x) = +oo$ e $lim_(x->-oo) f(x) = -oo$, queste informazioni, unite alla continuità e alla monotonia di $f$ nel suo dominio, permettono di concludere che esiste una e una sola soluzione dell'equazione $f(x)=0$.
Sì, funziona, anche se hai commesso un errore (veniale, d'accordo, ma pur sempre un errore): poiché (come giustamente osservi) $f ' \ge 0$ ovunque, è vero che $f$ è monotona non decrescente in $RR$. Ma questo è differente dal dire che $f$ in $RR$ è monotona crescente. Alla falla si rimedia però subito, osservando che$f$ è monotona crescente in un intorno completo dello zero. Il resto va bene, seppure le considerazioni circa la monotonia e la continuità sia più che sufficienti per concludere, senza ricorrere ad alcun tipo di valutazione ai limiti.
"+Steven+":
Comunque a parte la dimostrazione di esistenza di soluzioni, sareste in grado di trovare il valore di x che soddisfa
$cosx=x$ ?
Se ti contenti di una rappresentazione per serie, sì. Altrimenti ho qualche dubbio che sia possibile esprimere quel numero mediante un numero finito di operazioni razionali che coinvolgano unicamente costanti note e funzioni elementari dell'analisi... D'altronde, non saprei neppure come supportarlo, questo dubbio. Dubito, tuttavia, che nessuno qui sia disposto a dichiararmi in faccia che è infondato...
L'iterazione di punto fisso dovrebbe in un sol colpo mostrare esistenza, unicità della soluzione e mostrare una successione che converge alla soluzione. Più di così si muore...
"DavidHilbert":
Sì, funziona, anche se hai commesso un errore (veniale, d'accordo, ma pur sempre un errore): poiché (come giustamente osservi) $f ' \ge 0$ ovunque, è vero che $f$ è monotona non decrescente in $RR$. Ma questo è differente dal dire che $f$ in $RR$ è monotona crescente. Alla falla si rimedia però subito, osservando che$f$ è monotona crescente in un intorno completo dello zero. Il resto va bene, seppure le considerazioni circa la monotonia e la continuità sia più che sufficienti per concludere, senza ricorrere ad alcun tipo di valutazione ai limiti.
Guarda che è una questione di nomi... Il mio libro di Analisi 1 quando c'è il $>=$
dice che è crescente... Mentre quando c'è $>$ strettamente crescente...
Diciamo che è un po' come quando invece di dire positivo, uno dice non negativo...
"Reynolds":
Guarda che è una questione di nomi... Il mio libro di Analisi 1 quando c'è il $>=$
dice che è crescente... Mentre quando c'è $>$ strettamente crescente...
Diciamo che è un po' come quando invece di dire positivo, uno dice non negativo...
Al di là dei nomi, le conclusioni non reggono, se non osservi (per quanto banale) che $f$ è monotona strettamente crescente (per dirla a modo tuo) in un intorno completo dello zero.
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