Singolarita' isolata
Sia r>0 e B(0) un intorno sferico di C di raggio r.
Sia f:B(0)\{0}----->C una funzione olomorfa su B(0)\{0} tale che per ogni z appartenente a B(0)\{0} si ha |f(z)|<|z|^(-1/2)
Dire se f in 0 ha una singolarita' eliminabile, essenziale o un polo.
Platone
Sia f:B(0)\{0}----->C una funzione olomorfa su B(0)\{0} tale che per ogni z appartenente a B(0)\{0} si ha |f(z)|<|z|^(-1/2)
Dire se f in 0 ha una singolarita' eliminabile, essenziale o un polo.
Platone
Risposte
Ad intuito direi sigolarità eliminabile...sbaglio?
No, non sbagli, basta moltiplicare ambo i membri per |z| e si vede che il limite per z-->0 e' 0.
Platone
Platone
Non ho capito bene: se moltiplichi hai $ 0\leq |zf(z)|\leq \sqrt(|z|)$. Quindi $|zf(z)| ->0$; come concludi che $f(z)->0$?
Per esclusione: non puo' essere essenziale perche' se moltiplico per un qualsiasi |z|^n dovrebbe andare sempe ad infinito, e non puo' essere un polo perche' se fosse un polo (supponiamo di ordine m) allora moltiplicando per |z|^m dovrebbe avere limite finito e non nullo.
Ti torna?
Platone
Ti torna?
Platone
Ok, sì, mi torna: basta scrivere lo sviluppo di Laurent in una corona centrata in $0$. Se $0$ fosse una singolarità essenziale per $f$ allora $|zf(z)|$ dovrebbe tendere all'infinito. Se $0$ fosse un polo di ordine $m$, allora, siccome $zf(z)$ tende a $0$, deve essere
1) $m=1$;
2) residuo in $z=0$ pari a $0$.
Ma un polo di ordine $1$ con residuo nullo è una singolarità eliminabile.
1) $m=1$;
2) residuo in $z=0$ pari a $0$.
Ma un polo di ordine $1$ con residuo nullo è una singolarità eliminabile.
Bellissimo il quesito posto da Platone, soprattutto perché consente una convincente applicazione pratica al concetto di ‘funzione di grado $p$ in $a$’, da me enunciato sul thread dal gusto leggermente ‘polemico’ ‘Giusto per ridere un poco’. Riporto qui la definizione…
Una funzione $f(z)$ che non possiede in $z=a$ una singolarità essenziale può essere scritta in un intorno di $a$ come…
$f(z)=(z-a)^p*f^*(z)$ (1)
… dove $p$ è un intero ed $f^*(z)$ una funzione analitica in $z=a$ tale che il coefficiente di indice $0$ del suo sviluppo…
$f^*(z)=sum_(n=0)^(+∞)a_n*(z-a)^n$ (2)
… è diverso da $0$, ossia è $a_0ne0$. Una funzione che può essere scritta come in (1) verrà definita ‘di grado $p$ in $a$’. Se non esiste alcun intero $p$ che possa trovar posto nella (1), allora diciamo che $f(z)$ ha in $a$ una singolarità essenziale. Si hanno tre distinti casi…
a) $p>0$. Allora $f(z)$ è analitica in a ed è $f(a)=0$
b) $p=0$.Allora $f(z)$ è analitica in a ed è $f(a)ne0$
c) $p<0$. Allora $f(z)$ ha in $a$ un polo di ordine $p$ ed è $lim_(z→a)|f(z)|=+00$ (3)
Allora, detta $f(z)$ la funzione proposta la Platone, di essa sappiamo due cose…
a) è sviluppabile in serie di Laurent nell’intorno di $z=0$ per cui è…
$f(z)=z^p*f^*(z)$ (4)
… dove $p$ è il ‘grado’ della funzione che per il momento non conosciamo
b) in un intorno dello $0$ è…
$|f(z)|<|z|^(-1/2)$ (5)
Moltiplicando la (4) per $z^k$ con $k>0$ si ottiene…
$f(z)*z^k=z^(k+p)*f^*(z)$ (6)
Tenendo conto della (5) si prova facilmente che è…
$lim_(z->0) |f(z)*z^k|=0$ (7)
… per ogni valore di $k>0$ per cui nella (4) deve essere necessariamente $p=0$. E’ così dimostrato che la funzione di Platone è analitica di grado $0$ in $a$ e pertanto non presenta alcuna singolarità in $0$ [ e piantiamola una buona volta con questa farloccata delle ‘singolarità eliminabili’
] …
Una sola considerazione per finire. A dimostrare che $f(z)$ non ha singolarità essenziale in $z=0$ è la validità della (7) per qualunque valore di $k>0$ e non il comportamento della $f(z)$ in $z=0$, che per altro non conosciamo. Affermare poi che se in $z=a$ è presente una singolarità essenziale deve essere necessariamente $lim_(z->a) |f(z)|=+oo$ è inesatto, come almeno un semplice controesempio può dimostrare…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Una funzione $f(z)$ che non possiede in $z=a$ una singolarità essenziale può essere scritta in un intorno di $a$ come…
$f(z)=(z-a)^p*f^*(z)$ (1)
… dove $p$ è un intero ed $f^*(z)$ una funzione analitica in $z=a$ tale che il coefficiente di indice $0$ del suo sviluppo…
$f^*(z)=sum_(n=0)^(+∞)a_n*(z-a)^n$ (2)
… è diverso da $0$, ossia è $a_0ne0$. Una funzione che può essere scritta come in (1) verrà definita ‘di grado $p$ in $a$’. Se non esiste alcun intero $p$ che possa trovar posto nella (1), allora diciamo che $f(z)$ ha in $a$ una singolarità essenziale. Si hanno tre distinti casi…
a) $p>0$. Allora $f(z)$ è analitica in a ed è $f(a)=0$
b) $p=0$.Allora $f(z)$ è analitica in a ed è $f(a)ne0$
c) $p<0$. Allora $f(z)$ ha in $a$ un polo di ordine $p$ ed è $lim_(z→a)|f(z)|=+00$ (3)
Allora, detta $f(z)$ la funzione proposta la Platone, di essa sappiamo due cose…
a) è sviluppabile in serie di Laurent nell’intorno di $z=0$ per cui è…
$f(z)=z^p*f^*(z)$ (4)
… dove $p$ è il ‘grado’ della funzione che per il momento non conosciamo
b) in un intorno dello $0$ è…
$|f(z)|<|z|^(-1/2)$ (5)
Moltiplicando la (4) per $z^k$ con $k>0$ si ottiene…
$f(z)*z^k=z^(k+p)*f^*(z)$ (6)
Tenendo conto della (5) si prova facilmente che è…
$lim_(z->0) |f(z)*z^k|=0$ (7)
… per ogni valore di $k>0$ per cui nella (4) deve essere necessariamente $p=0$. E’ così dimostrato che la funzione di Platone è analitica di grado $0$ in $a$ e pertanto non presenta alcuna singolarità in $0$ [ e piantiamola una buona volta con questa farloccata delle ‘singolarità eliminabili’
] … Una sola considerazione per finire. A dimostrare che $f(z)$ non ha singolarità essenziale in $z=0$ è la validità della (7) per qualunque valore di $k>0$ e non il comportamento della $f(z)$ in $z=0$, che per altro non conosciamo. Affermare poi che se in $z=a$ è presente una singolarità essenziale deve essere necessariamente $lim_(z->a) |f(z)|=+oo$ è inesatto, come almeno un semplice controesempio può dimostrare…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
L’esempio di Platone mi piace moltissimo anche per un altro motivo: mi permette di fare il seguente ‘falso controesempio’…
Supponiamo che la funzione sia…
$f(z)= ln z$ (1)
Che questa soddisfi la 'condizione di Platone’ $|f(z)| <|z|^(-1/2)$ è facile verificarlo calcolando il limite seguente [si fa uso della regola dell’Hopital] …
$lim_(z->0) (ln z)/(z^(-1/2))= lim_(z->0)(1/z)/(-1/2*z^(-3/2))=$
$=lim_(z->0) –2*z^(1/2)= 0$ (2)
Si direbbe dunque che la funzione $ln z$ sia analitica di grado $0$ in $z=0$
. Tranquillizzerò i ragazzi impressionabili dicendo subito che così non è. La domanda a questo punto è però la seguente: perché non è così?… 
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Supponiamo che la funzione sia…
$f(z)= ln z$ (1)
Che questa soddisfi la 'condizione di Platone’ $|f(z)| <|z|^(-1/2)$ è facile verificarlo calcolando il limite seguente [si fa uso della regola dell’Hopital] …
$lim_(z->0) (ln z)/(z^(-1/2))= lim_(z->0)(1/z)/(-1/2*z^(-3/2))=$
$=lim_(z->0) –2*z^(1/2)= 0$ (2)
Si direbbe dunque che la funzione $ln z$ sia analitica di grado $0$ in $z=0$
. Tranquillizzerò i ragazzi impressionabili dicendo subito che così non è. La domanda a questo punto è però la seguente: perché non è così?… cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Perche' dici che parlare di singolarita' eliminabili e' una farloccata?
Data una singolarita' isolata', e' possibile che questa sia eliminabile, mentre non e' vero che una singolarita' eliminabile implica che la funzione il quel punto non ha singolarita'... se in quel punto la funzione non e; definita...
Pre l'altro punto, l'ingippo sta nel fatto che la funzione logaritmo non e' ben definota su tutto C.
Platone
Data una singolarita' isolata', e' possibile che questa sia eliminabile, mentre non e' vero che una singolarita' eliminabile implica che la funzione il quel punto non ha singolarita'... se in quel punto la funzione non e; definita...
Pre l'altro punto, l'ingippo sta nel fatto che la funzione logaritmo non e' ben definota su tutto C.
Platone
Lascia stare Platone, credimi è meglio che tu non ti coinvolga in discussioni con lupo grigio di questo tipo. Lo so bene che lui non accetta le singolarità eliminabili; probabilmente non sa nulla del prolungamento analitico delle funzioni, e il fatto che proprio dall'esistenza delle singolarità eliminabili è nato...
Caro Luca e caro Platone
battere sempre sullo stesso chiodo non credo vi faccia guadagnare punti nei confronti degli utenti del forum. Dovreste invece essermi grati poichè vi dato una bella opportunità di dimostrare la vostra 'bravura': rispondere in maniera convincente al quesito da me posto
...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
battere sempre sullo stesso chiodo non credo vi faccia guadagnare punti nei confronti degli utenti del forum. Dovreste invece essermi grati poichè vi dato una bella opportunità di dimostrare la vostra 'bravura': rispondere in maniera convincente al quesito da me posto
... cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Teorema di de l'Hopital in $C$:
Siano $f$ e $g$ due funzioni analitiche in $D$, e sia $z_0 \in D$ con $f(z_0)=g(z_0)=0$, tali che $g'(z)$ abbia limite non nullo per $z ->z_0$. Supponiamo esista il limite $c$ del rapporto $f'/g'$ per $z->z_0$. Allora esiste il limite del rapporto di $f/g$ ed è pari a $c$.
Evidentemente tale Teorema non si applica al caso $f=log z$, $z_0=0$.
Siano $f$ e $g$ due funzioni analitiche in $D$, e sia $z_0 \in D$ con $f(z_0)=g(z_0)=0$, tali che $g'(z)$ abbia limite non nullo per $z ->z_0$. Supponiamo esista il limite $c$ del rapporto $f'/g'$ per $z->z_0$. Allora esiste il limite del rapporto di $f/g$ ed è pari a $c$.
Evidentemente tale Teorema non si applica al caso $f=log z$, $z_0=0$.
Caro lupo grigio, anzitutto io non voglio dimostrare a nessuno la mia bravura (anche perche' cosi' bravo non sono... e questa non e' falsa modestia); poi Luca ha detto "Lo so bene che lui non accetta le singolarità eliminabili", ma io invece non lo sapevo. Evidentemente ne avete discusso in un topic che non ho letto; altrimenti figurati se me ne uscivo in quel modo.
Platone
Platone
"Luca.Lussardi":
Teorema di de l'Hopital in $C$:
Siano $f$ e $g$ due funzioni analitiche in $D$, e sia $z_0 \in D$ con $f(z_0)=g(z_0)=0$, tali che $g'(z)$ abbia limite non nullo per $z ->z_0$. Supponiamo esista il limite $c$ del rapporto $f'/g'$ per $z->z_0$. Allora esiste il limite del rapporto di $f/g$ ed è pari a $c$.
Evidentemente tale Teorema non si applica al caso $f=log z$, $z_0=0$.
Oh!!!... how silly of me!!!...
Mi sa dunque che occorre trovare [in fretta...] un'altra maniera per dimostrare che è...
$lim_(z->0) (ln z)/(z^(-1/2))=0$ (1)
Mumble, mumble... proviamo con il cambio di variabile $p=1/z$. Sarà ...
$lim_(z->0) (ln z)/(z^(-1/2))=lim_(p->+oo) ln (1/p)/(p^(1/2))=$
$=lim_(p->+oo) (-ln p)/(p^(1/2))$ (2)
Se la memoria non mi inganna la funzione logaritmo naturale è un infinito di grado inferiore a qualunque numero reale $alpha>0$. In altre parole è...
$lim_(p->+oo) (ln p)/(p^alpha)=0$ (3)
Dal momento che non vi è ragione per cui $alpha=1/2$ debba fare eccezione, sembrerebbe che la (1) sia dimostrata... o almeno lo spero...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Il logaritmo è una funzione di per sè polidroma, per cui per averla analitica in $B_r(0)$ meno lo $0$ occorre prenderne una branca.
Scegliamo quindi $log z=log|z|+i \theta$, essendo $z=|z|e^(i\theta)$; ora, lupo grigio, che singolarità ha questa funzione in $z=0$?
Scegliamo quindi $log z=log|z|+i \theta$, essendo $z=|z|e^(i\theta)$; ora, lupo grigio, che singolarità ha questa funzione in $z=0$?
Strano che ad un quesito si risponda con un altro quesito, posto per di più in forma poco chiara. Oggi comunque è domenica e non mi sembra il caso di impegnarmi troppo. Vorrei invece segnalare quello che è scritto a proposito della regola dell'Hopital in
http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html ...
L'Hospital's Rule
Let lim stand for$lim_(x->a)$,$lim_(x->a^+)$,$lim_(x->a^-)$,$lim_(x->+oo)$, or $lim_(x->-oo)$, and suppose that $lim f(x)$ and $lim g(x)$ are both zero or are both +/- infinity. If
$lim (f'(x))/(g'(x))$ (1)
has a finite value or if the limit is $+-oo$ , then
$lim (f(x))/(g(x))=lim (f'(x))/(g'(x))$ (2)
Historically, this result first appeared in l'Hospital's 1696 treatise, which was the first textbook on differential calculus. Within the book, L'Hospital thanks the Bernoulli brothers for their assistance and their discoveries. An earlier letter by John Bernoulli gives both the rule and its proof, so it seems likely that Bernoulli discovered the rule [Larson et al. 1999, p. 524].
Da quel poco che conosco della lingua di Shakespeare mi par di capire che la regola dell'Hopital si applica tanto al caso '$0/0$' quanto al caso $(oo)/(oo)$. Così mi pareva del resto di ricordare anche dagli ormai remotissimi anni del liceo. Ora invece, con mio grande stupore, scopro che da un pò di tempo in qua la regola dell'Hopital si applica solo al caso $0/0$...
Sarà l'effetto di un decreto legge di un governo passato o dell'attuale?... boh!... va a saperlo!... 
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html ...
L'Hospital's Rule
Let lim stand for$lim_(x->a)$,$lim_(x->a^+)$,$lim_(x->a^-)$,$lim_(x->+oo)$, or $lim_(x->-oo)$, and suppose that $lim f(x)$ and $lim g(x)$ are both zero or are both +/- infinity. If
$lim (f'(x))/(g'(x))$ (1)
has a finite value or if the limit is $+-oo$ , then
$lim (f(x))/(g(x))=lim (f'(x))/(g'(x))$ (2)
Historically, this result first appeared in l'Hospital's 1696 treatise, which was the first textbook on differential calculus. Within the book, L'Hospital thanks the Bernoulli brothers for their assistance and their discoveries. An earlier letter by John Bernoulli gives both the rule and its proof, so it seems likely that Bernoulli discovered the rule [Larson et al. 1999, p. 524].
Da quel poco che conosco della lingua di Shakespeare mi par di capire che la regola dell'Hopital si applica tanto al caso '$0/0$' quanto al caso $(oo)/(oo)$. Così mi pareva del resto di ricordare anche dagli ormai remotissimi anni del liceo. Ora invece, con mio grande stupore, scopro che da un pò di tempo in qua la regola dell'Hopital si applica solo al caso $0/0$...
Sarà l'effetto di un decreto legge di un governo passato o dell'attuale?... boh!... va a saperlo!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
1) La forma della mia richiesta è perfettamente chiara: ti ho dato una funzione, che è una branca del logaritmo, e ti ho chiesto che tipo di singolarità ha in $z=0$.
2) Il Teorema di de l'Hopital da me enunciato è generale, infatti contiene quello detto in modo poco preciso da te (non dici nemmeno dove sono definite le funzioni...). Per ottenere il caso $\infty/\infty$ basta passare alla carta dell'infinito.
2) Il Teorema di de l'Hopital da me enunciato è generale, infatti contiene quello detto in modo poco preciso da te (non dici nemmeno dove sono definite le funzioni...). Per ottenere il caso $\infty/\infty$ basta passare alla carta dell'infinito.
Cos'e' la "carta dell'infinito"?
karl
karl
Molto sinteticamente è la sostituzione $z -> 1/z$, che serve per studiare il comportamento in $z=\infty$ al comportamento in $z=0$.
Per essere precisi le cose andrebbero viste sulla sfera di Riemann, in cui il punto all'infinito è il polo nord della sfera (si pensi alla proiezione stereografica).
Il motivo di tutto ciò sta nel fatto che è poco chiaro cosa sia in più variabili un limite per $x ->+\infty$; cosa significa che un vettore tende a $+\infty$? Vanno all'infinito tutte le componenti, una sola....?
Mediante la proiezione stereografica un "intorno" dell'infinito piano (o spaziale) diventa un intorno del polo nord sulla sfera di Riemann.
Per essere precisi le cose andrebbero viste sulla sfera di Riemann, in cui il punto all'infinito è il polo nord della sfera (si pensi alla proiezione stereografica).
Il motivo di tutto ciò sta nel fatto che è poco chiaro cosa sia in più variabili un limite per $x ->+\infty$; cosa significa che un vettore tende a $+\infty$? Vanno all'infinito tutte le componenti, una sola....?
Mediante la proiezione stereografica un "intorno" dell'infinito piano (o spaziale) diventa un intorno del polo nord sulla sfera di Riemann.
Ottima spiegazione :la terro' presente.
Grazie ,Luca.
karl
Grazie ,Luca.
karl
Va beh, visto che nessuno interviene vi svelo io il mistero dell'apparente controesempio di lupo grigio: la funzione logaritmo (o meglio la branca che io ho scelto) non e' una funzione continua in tutti i punti dell' asse reale negativo. Ne segue che non soddisfa le ipotesi dell'enunciato dato da Platone.
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