Singolarita' isolata
Sia r>0 e B(0) un intorno sferico di C di raggio r.
Sia f:B(0)\{0}----->C una funzione olomorfa su B(0)\{0} tale che per ogni z appartenente a B(0)\{0} si ha |f(z)|<|z|^(-1/2)
Dire se f in 0 ha una singolarita' eliminabile, essenziale o un polo.
Platone
Sia f:B(0)\{0}----->C una funzione olomorfa su B(0)\{0} tale che per ogni z appartenente a B(0)\{0} si ha |f(z)|<|z|^(-1/2)
Dire se f in 0 ha una singolarita' eliminabile, essenziale o un polo.
Platone
Risposte
E’ del tutto comprensibile che il lunedì mattina, specie se si è passata la notte precedente a festeggiare la splendida affermazione della nostra Nazionale di calcio ai mondiali di Germania, non si sia in forma perfetta e qui ne abbiamo un eloquente esempio …
Dunque se abbiamo capito bene, la funzione $f(z)=ln z$ non sarebbe continua per $z=-r$ con $r>0$ reale?… boh!… proviamo ad esaminare il caso generale ponendo la variabile $z$ in ‘forma polare’. Sia $z=r*e^(j*theta)$ con $theta$ definito a meno di un multiplo intero arbitrario di $2*pi$. Sarà…
$f(z)=ln z= ln r +j*theta$ (1)
Poniamo ora $delta= epsilon*e^(j*gamma)$ e calcoliamo da prima modulo e anomalia di $z+delta$…
$|z+delta|= sqrt(r^2+epsilon^2+2*r*epsilon*(cos theta*cos gamma+sin theta*sin gamma))$ (2)
$an(z+delta)=tan^(-1) (r*sin theta +epsilon*sin gamma)/(r*cos theta+epsilon*cos gamma)$ (3)
Chiaramente sarà…
$ln (z+delta)= ln |z+delta| + j*an(z+delta)$ (4)
Dalla (2) si vede che è…
$lim_(|delta|->0) |z+delta| = lim_(epsilon->0)|z+delta|= r$ (5)
Dalla (3) invece…
$lim_(|delta|->0) an(z+delta)=lim_(epsilon->0) an(z+delta)=theta$ (6)
In definitiva quindi per tutti i valori di $zne0$ si ha…
$lim_(|delta|->0) ln (z+delta)=ln r+j*theta= ln z$ (7)
… ossia, assai banalmente, la funzione $f(z)=ln z$ è continua per ogni $zne0$… come è ovvio che sia… tra l’altro anche per tutti i punti dell’asse reale negativo…
Per aiutare a fornire la risposta proverò a fare un altro ‘controesempio’, questa volta decisamente banale. Sia data la funzione…
$f(z)= a*z^(-1/2)$ con $0
E’ del tutto ovvio che anch’essa soddisfa alla condizione di Platone, come del tutto ovvio è che essa non è analitica in $z=0$. Dove sta l’inghippo?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Dunque se abbiamo capito bene, la funzione $f(z)=ln z$ non sarebbe continua per $z=-r$ con $r>0$ reale?… boh!… proviamo ad esaminare il caso generale ponendo la variabile $z$ in ‘forma polare’. Sia $z=r*e^(j*theta)$ con $theta$ definito a meno di un multiplo intero arbitrario di $2*pi$. Sarà…
$f(z)=ln z= ln r +j*theta$ (1)
Poniamo ora $delta= epsilon*e^(j*gamma)$ e calcoliamo da prima modulo e anomalia di $z+delta$…
$|z+delta|= sqrt(r^2+epsilon^2+2*r*epsilon*(cos theta*cos gamma+sin theta*sin gamma))$ (2)
$an(z+delta)=tan^(-1) (r*sin theta +epsilon*sin gamma)/(r*cos theta+epsilon*cos gamma)$ (3)
Chiaramente sarà…
$ln (z+delta)= ln |z+delta| + j*an(z+delta)$ (4)
Dalla (2) si vede che è…
$lim_(|delta|->0) |z+delta| = lim_(epsilon->0)|z+delta|= r$ (5)
Dalla (3) invece…
$lim_(|delta|->0) an(z+delta)=lim_(epsilon->0) an(z+delta)=theta$ (6)
In definitiva quindi per tutti i valori di $zne0$ si ha…
$lim_(|delta|->0) ln (z+delta)=ln r+j*theta= ln z$ (7)
… ossia, assai banalmente, la funzione $f(z)=ln z$ è continua per ogni $zne0$… come è ovvio che sia… tra l’altro anche per tutti i punti dell’asse reale negativo…
Per aiutare a fornire la risposta proverò a fare un altro ‘controesempio’, questa volta decisamente banale. Sia data la funzione…
$f(z)= a*z^(-1/2)$ con $0
E’ del tutto ovvio che anch’essa soddisfa alla condizione di Platone, come del tutto ovvio è che essa non è analitica in $z=0$. Dove sta l’inghippo?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ti lascio come esercizio trovare l'errore in quello che hai fatto, non ho ne' tempo ne' voglia di trovarlo io. Vai poi a studiarti un po' di Analisi complessa, si trova su tutti i libri questo fatto.
Giusto per citarne uno: vai sul libro ALAN JEFFERY, COMPLEX ANALYSIS AND APPLICATIONS (per altro professore di Ingegneria matematica). pag. 61, leggo:
"We shall now prove that Log z is a continuous function of z expect when z lies on the negative real axis, across which it is discontinuous."
Se ce l'hai con me e non mi credi, spero almeno tu creda a chi ha scritto questo libro.
Giusto per citarne uno: vai sul libro ALAN JEFFERY, COMPLEX ANALYSIS AND APPLICATIONS (per altro professore di Ingegneria matematica). pag. 61, leggo:
"We shall now prove that Log z is a continuous function of z expect when z lies on the negative real axis, across which it is discontinuous."
Se ce l'hai con me e non mi credi, spero almeno tu creda a chi ha scritto questo libro.
Smentisco anche il tuo nuovo tentativo: la funzione $z^(-1/2)$ e' definita come $exp(-1/2 Log z)$. Quindi se il Logaritmo non e' continuo sul semiasse reale negativo...
Ragazzi
diciamo che, al fine di evitare che la discussione sconfini in assoluto *******, daremo la ‘soluzione’ del mistero. Anche se taluni di esse negano ostinatamente l’esistenza, nella teoria delle variabili complesse le funzioni polidrome hanno fama più delle altre di essere delle ‘brutte bestie’. Per chi volesse entrare nel dettaglio consiglio la lettura di http://mathworld.wolfram.com/MultivaluedFunction.html , scritto come al solito assai bene. Qui me la sbrigherò in due parole dicendo che una funzione polidroma assume due o più distinti valori in certi punti del suo dominio. Esse sono caratterizzate dalla presenza di uno o più ‘punti di diramazione’ [in inglese ‘branch point’…] che sono punti nei quali convergono le branche della funzione polidroma. L’esempio più famoso di funzione polidroma è…
$f(z)=sqrt z$ (1)
... la quale, ad esempio, per $z=1$ assume i valori $+1$ e $-1$ e per $z= -1$ i valori $+j$ e $-j$. Questa ha nel punto $z=0$ un punto di diramazione. La funzione ‘radice quadrata’ fa parte di una più ampia classe di funzioni polidrome espresse come…
$f(z)=a*z^alpha$ (2)
... in cui è $ane0$ e $alpha$ un numero reale non intero. Tutte le funzioni appartenenti a questa classe [tra esse c’è anche il ‘controesempio’ $f(z)= a*z^(-1/2)$ …] hanno in $z=0$ un punto di diramazione. Anche la funzione $f(z)=ln z$, come ben si sa, è polidroma ed anche essa ha in $z=0$ un punto di diramazione. Una proprietà essenziale delle funzioni polidrome è che esse non ammettono uno sviluppo in serie di Laurent 'centrato' in un punto di diramazione. Non esistendo in questo caso lo sviluppo di Laurent, non si può a rigore parlare di ‘singolarità’ di alcun tipo. Questo è il motivo per il quale, quando mi è stato chiesto di calcolare il ‘residuo’ della funzione $f(z)=ln z$ nel punto $z=0$ ho preferito far finta di ignorare la cosa al fine di non turbare la suscettibilità dell’interlocutore. Diciamo che la ‘condizione di Platone’ è valida a patto che si dica in modo esplicito che la $f(z)$ ammette lo sviluppo di Laurent nell’intorno di $z=0$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
diciamo che, al fine di evitare che la discussione sconfini in assoluto *******, daremo la ‘soluzione’ del mistero. Anche se taluni di esse negano ostinatamente l’esistenza, nella teoria delle variabili complesse le funzioni polidrome hanno fama più delle altre di essere delle ‘brutte bestie’. Per chi volesse entrare nel dettaglio consiglio la lettura di http://mathworld.wolfram.com/MultivaluedFunction.html , scritto come al solito assai bene. Qui me la sbrigherò in due parole dicendo che una funzione polidroma assume due o più distinti valori in certi punti del suo dominio. Esse sono caratterizzate dalla presenza di uno o più ‘punti di diramazione’ [in inglese ‘branch point’…] che sono punti nei quali convergono le branche della funzione polidroma. L’esempio più famoso di funzione polidroma è…
$f(z)=sqrt z$ (1)
... la quale, ad esempio, per $z=1$ assume i valori $+1$ e $-1$ e per $z= -1$ i valori $+j$ e $-j$. Questa ha nel punto $z=0$ un punto di diramazione. La funzione ‘radice quadrata’ fa parte di una più ampia classe di funzioni polidrome espresse come…
$f(z)=a*z^alpha$ (2)
... in cui è $ane0$ e $alpha$ un numero reale non intero. Tutte le funzioni appartenenti a questa classe [tra esse c’è anche il ‘controesempio’ $f(z)= a*z^(-1/2)$ …] hanno in $z=0$ un punto di diramazione. Anche la funzione $f(z)=ln z$, come ben si sa, è polidroma ed anche essa ha in $z=0$ un punto di diramazione. Una proprietà essenziale delle funzioni polidrome è che esse non ammettono uno sviluppo in serie di Laurent 'centrato' in un punto di diramazione. Non esistendo in questo caso lo sviluppo di Laurent, non si può a rigore parlare di ‘singolarità’ di alcun tipo. Questo è il motivo per il quale, quando mi è stato chiesto di calcolare il ‘residuo’ della funzione $f(z)=ln z$ nel punto $z=0$ ho preferito far finta di ignorare la cosa al fine di non turbare la suscettibilità dell’interlocutore. Diciamo che la ‘condizione di Platone’ è valida a patto che si dica in modo esplicito che la $f(z)$ ammette lo sviluppo di Laurent nell’intorno di $z=0$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
L'esercizio di Platone richiedeva come ipotesi che la funzione fosse olomorfa in una palla centrata in $z=0$, origine esclusa. Se una funzione e' olomorfa in una palla cui manca il centro, allora il centro della palla, per definzione, e' una singolarita' isolata per la funzione. Esiste quindi lo sviluppo di Laurent della funzione in una corona con centro l'origine.
Quindi la polidromia non c'entra niente. Il punto della questione e' invece il fatto che la funzione logaritmo non ha una singolarita' isolata in $z=0$, poiche' la branca principale (quindi monodroma!!!) del logaritmo complesso non e' una funzione continua su tutto il semiasse reale negativo. Questo mi aspettavo come risposta alla mia domanda"che singolarita' ha in $z=0$ la branca principale del logaritmo?" Ma non l'ho avuta.
Quindi la polidromia non c'entra niente. Il punto della questione e' invece il fatto che la funzione logaritmo non ha una singolarita' isolata in $z=0$, poiche' la branca principale (quindi monodroma!!!) del logaritmo complesso non e' una funzione continua su tutto il semiasse reale negativo. Questo mi aspettavo come risposta alla mia domanda"che singolarita' ha in $z=0$ la branca principale del logaritmo?" Ma non l'ho avuta.
Allora ragazzi
vediamo un poco di mantenerci calmi e usare la dote che Cartesio sosteneva sia stata concessa agli umani senza discriminazioni: l’intelligenza. Se abbiamo ben capito tal Alan Jeffery nel suo Complex analisys and applications [pubblicato nell’ottobre 2005, disponibile al prezzo di dollari 63.96 nel sito www.gohastings.com . Alan Jeffrey insegna alla University of Newcastle upon Tyne…] afferma quanto segue…
… we shall now prove that log z is a continuous function of z expect when z lies on the negative real axis, across which it is discontinuous…
Allora ragazzi vediamo di capire meglio la questione posta da questo eminente cattedratico aiutandoci con il diagramma riportato qui sotto…
Ponendo $z=r*e^(j*theta)$ con $r>0$ risulta per definizione…
$ln z = ln r + j*theta$ (1)
Ora proprio dalla ‘periodicità’ della funzione $e^(j*theta)$ nel, campo complesso deriva il fatto che la funzione logaritmo è definita a meno di un fattore $j*k*2*pi$ con k intero qualsiasi. In altre parole la funzione logaritmo è polidroma ossia per un valore di $z$ assume infiniti valori dati da…
$ln z= ln r +j*(theta+k*2*pi)$ (2)
Nel diagramma è mostrata la funzione $ln z$ per $z$ reale [quindi tanto sul semiasse positivo quanto sul semiasse negativo]. In nero è raffigurata la ‘parte reale’ della funzione, in rosso i diversi valori della ‘parte immaginaria’ al variare di $k$. In genere si usa la convenzione di definire il ‘valor principale’ della funzione logaritmo ponendo nella (2) $k=0$. Dal momento che questo mister Jeffrey ha tirato fuori l’asse reale andiamoci a calcolare la (2) su tale asse ponendo $k=0$ [ossia scegliendo la ‘branca principale’…]. Per fare questo in modo veloce e rapido, sfruttiamo una utile relazione, ricavabile dalla (1) in modo del tutto elementare…
$ln (-z) = ln z + j*pi$ (3)
In altre parole una volta calcolata la funzione per un certo $z$, la (3) consente di averla per $-z$. Semplice no?… Premesso ciò andiamo a sviluppare la funzione $ln z$ nell’intorno del punto $z=1$, posto sul semiasse reale positivo. Per far questo abbiamo bisogno di conoscere i valori della funzione e delle sue derivate in $z=1$. Nessun problema… o quasi…
$f(z)= ln z =0$ per $z=1$
$f’(z)= 1/z= 1$ per $z=1$
$f’’(z)=-1/(z^2)=-1$ per $z=1$
…
$f^((n)) (z)= (-1)^(n+1) * ((n-1)!)/(z^n)= (-1)^(n+1)*(n-1)!$ per $z=1$ (4)
Ricordando la formula dello sviluppo di Taylor in un intorno di $z=a$…
$f(z)= sum_(n=0)^(+oo) f^((n)) (a) *(z-a)^n/(n!)$ (5)
… abbiamo…
$ln z= sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)*(z-1)^n/n$ (6)
Ovviamente tale sviluppo corrisponde alla nota ‘serie logaritmica’ e non dovrebbero essere necessarie spiegazioni. Ricordiamo che la serie (6) converge [come è giusto che sia…] entro un cerchio di raggio $R=1$ centrato in $z=1$. In particolare per $z=0$ la (6) è divergente. Fin qui nulla di strano, giusto?… Ora però andiamo a calcolare lo sviluppo della funzione $ln z$ nell’intorno di $z= -1$. Come?… Utilizzando la (3) e ponendo nella (6) $-z$ al posto di $z$ salta fuori…
$ln z= j*pi - sum_(n=1)^(+oo) (z+1)^n/(n)$ (7)
La serie [come è giusto che sia…] converge all’interno di un cerchio di raggio $R=1$, questa volta centrato in $z=-1$. Notare l’interessante particolare per cui la (7) ha una espressione più semplice della (6), mancando in essa il termine $(-1)^(n-1)$. Si è così dimostrato senza ombra di dubbio una cosa assai semplice, al punto da risultare ovvia: la funzione $ln z$ è analitica per ogni valore di $z$ sull’asse reale ad eccezione di $z=0$. In modo simile si può dimostrare che, una volta fissato un certo valore dell’intero $k$, $ln z$ è analitica per ogni valore di $z$ ad eccezione di $z=0$….
Morale della favola ragazzi: se avete 64 dollari e proprio non sapete come spenderli, l’ultima cosa che vi consiglio di da fare è acquistare il libro di mister Jeffrey… molto meglio una cena in trattoria
…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
vediamo un poco di mantenerci calmi e usare la dote che Cartesio sosteneva sia stata concessa agli umani senza discriminazioni: l’intelligenza. Se abbiamo ben capito tal Alan Jeffery nel suo Complex analisys and applications [pubblicato nell’ottobre 2005, disponibile al prezzo di dollari 63.96 nel sito www.gohastings.com . Alan Jeffrey insegna alla University of Newcastle upon Tyne…] afferma quanto segue…
… we shall now prove that log z is a continuous function of z expect when z lies on the negative real axis, across which it is discontinuous…
Allora ragazzi vediamo di capire meglio la questione posta da questo eminente cattedratico aiutandoci con il diagramma riportato qui sotto…
Ponendo $z=r*e^(j*theta)$ con $r>0$ risulta per definizione…
$ln z = ln r + j*theta$ (1)
Ora proprio dalla ‘periodicità’ della funzione $e^(j*theta)$ nel, campo complesso deriva il fatto che la funzione logaritmo è definita a meno di un fattore $j*k*2*pi$ con k intero qualsiasi. In altre parole la funzione logaritmo è polidroma ossia per un valore di $z$ assume infiniti valori dati da…
$ln z= ln r +j*(theta+k*2*pi)$ (2)
Nel diagramma è mostrata la funzione $ln z$ per $z$ reale [quindi tanto sul semiasse positivo quanto sul semiasse negativo]. In nero è raffigurata la ‘parte reale’ della funzione, in rosso i diversi valori della ‘parte immaginaria’ al variare di $k$. In genere si usa la convenzione di definire il ‘valor principale’ della funzione logaritmo ponendo nella (2) $k=0$. Dal momento che questo mister Jeffrey ha tirato fuori l’asse reale andiamoci a calcolare la (2) su tale asse ponendo $k=0$ [ossia scegliendo la ‘branca principale’…]. Per fare questo in modo veloce e rapido, sfruttiamo una utile relazione, ricavabile dalla (1) in modo del tutto elementare…
$ln (-z) = ln z + j*pi$ (3)
In altre parole una volta calcolata la funzione per un certo $z$, la (3) consente di averla per $-z$. Semplice no?… Premesso ciò andiamo a sviluppare la funzione $ln z$ nell’intorno del punto $z=1$, posto sul semiasse reale positivo. Per far questo abbiamo bisogno di conoscere i valori della funzione e delle sue derivate in $z=1$. Nessun problema… o quasi…
$f(z)= ln z =0$ per $z=1$
$f’(z)= 1/z= 1$ per $z=1$
$f’’(z)=-1/(z^2)=-1$ per $z=1$
…
$f^((n)) (z)= (-1)^(n+1) * ((n-1)!)/(z^n)= (-1)^(n+1)*(n-1)!$ per $z=1$ (4)
Ricordando la formula dello sviluppo di Taylor in un intorno di $z=a$…
$f(z)= sum_(n=0)^(+oo) f^((n)) (a) *(z-a)^n/(n!)$ (5)
… abbiamo…
$ln z= sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)*(z-1)^n/n$ (6)
Ovviamente tale sviluppo corrisponde alla nota ‘serie logaritmica’ e non dovrebbero essere necessarie spiegazioni. Ricordiamo che la serie (6) converge [come è giusto che sia…] entro un cerchio di raggio $R=1$ centrato in $z=1$. In particolare per $z=0$ la (6) è divergente. Fin qui nulla di strano, giusto?… Ora però andiamo a calcolare lo sviluppo della funzione $ln z$ nell’intorno di $z= -1$. Come?… Utilizzando la (3) e ponendo nella (6) $-z$ al posto di $z$ salta fuori…
$ln z= j*pi - sum_(n=1)^(+oo) (z+1)^n/(n)$ (7)
La serie [come è giusto che sia…] converge all’interno di un cerchio di raggio $R=1$, questa volta centrato in $z=-1$. Notare l’interessante particolare per cui la (7) ha una espressione più semplice della (6), mancando in essa il termine $(-1)^(n-1)$. Si è così dimostrato senza ombra di dubbio una cosa assai semplice, al punto da risultare ovvia: la funzione $ln z$ è analitica per ogni valore di $z$ sull’asse reale ad eccezione di $z=0$. In modo simile si può dimostrare che, una volta fissato un certo valore dell’intero $k$, $ln z$ è analitica per ogni valore di $z$ ad eccezione di $z=0$….
Morale della favola ragazzi: se avete 64 dollari e proprio non sapete come spenderli, l’ultima cosa che vi consiglio di da fare è acquistare il libro di mister Jeffrey… molto meglio una cena in trattoria
… cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
La branca principale del logaritmo complesso e' la funzione $log z=log|z|+i \theta$ con $-\pi < \theta \le \pi$. Quindi tale branca in $z=-1$ vale $i \pi$. Se io ora considero la semicirconferenza che sta nel semipiano dell'asse immaginario negativo di raggio $1$ centrata in $0$, e faccio il limite per $z$ che tende a $-1$ lungo tale curva allora trovo $-i \pi$.
E la branca principale e' continua in $z=-1$????????
E la branca principale e' continua in $z=-1$????????
Ragazzi
per finire il discorso sulle ‘singolarità isolate’ una considerazione che ritengo importante. Chi scrive ha voluto creare dei ‘controesempi’ non per il gusto di fare il ‘bastian contrario’, bensì perché è convinto che in generale tutto il discorso relativo alle ‘singolarità’ di una funzione sia un poco da rivedere. Proviamo a riscrivere la domanda il quesito posto da Platone all’inizio del topic…
… dire se f in 0 ha una singolarita' eliminabile, essenziale o un polo…
Sembrerebbe dunque che il discorso sulle ‘singolarità’ sia limitato a queste e solo queste tre scelte. Come ritengo di aver dimostrato però il discorso è vero solo se è vera l’ipotesi che $f(z)$ ammette uno sviluppo in serie di Laurent in un intorno centrato in $z=0$. Come abbiamo visto le funzioni $ln z$ e $z^(- alpha)$ con $alpha$ non intero non fanno parte di questa categoria e pertanto esse si comportano in maniera differente dalle altre. Per chiarire meglio il discorso facciamo un altro esempio, quella della funzione integralesponenziale. Tale funzione è definita come…
$Ei(x)= int_(x)^(+oo) (e^(-t))/t*dt$ (1)
Non è difficile dimostrare che è…
$Ei(x)= - gamma –ln x +int_0^(x) (1-e^(-t))/t*dt=$
$=-gamma –ln x +sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1)*(x^n)/(n*n!)$ (2)
La costante $gamma$ che compare nella (2) è nota come ‘costante di Eulero’ e vale…
$gamma=.577215664901…$ (3)
Riscriviamo ora la (2) in maniera un poco differente…
$Ei(x)= -ln x + g(x)$ con $g(x)= -gamma +sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1)*(x^n)/(n*n!)$ (4)
Ci accorgiamo subito che la funzione è la somma di due termini, ovvero di $g(x)$ e $-ln x$. Il primo termine è una funzione analitica di grado $0$ in $x=0$ e non presenta alcuna singolarità. Il secondo termine [$-ln x$] presenta invece una singolarità in $x=0$ ma, non essendo la funzione sviluppabile in serie di Laurent, non siamo in grado di dire di che tipo di singolarità si tratta. Per colmare questa ‘lacuna’ qualcuno si è inventato le ‘singolarità logaritmiche’, che il lettore può trovare in http://mathworld.wolfram.com/Logarithmi ... arity.html .
A mio parere questa soluzione non è del tutto soddisfacente dal momento che lo stesso problema si presenta con quasi tutte le funzioni polidrome in corrispondenza di un punto di diramazione. Occorrerebbe quindi fare un discorso più generale. Certo un campo di studio davvero interessante per chi volesse cimentarsi…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
per finire il discorso sulle ‘singolarità isolate’ una considerazione che ritengo importante. Chi scrive ha voluto creare dei ‘controesempi’ non per il gusto di fare il ‘bastian contrario’, bensì perché è convinto che in generale tutto il discorso relativo alle ‘singolarità’ di una funzione sia un poco da rivedere. Proviamo a riscrivere la domanda il quesito posto da Platone all’inizio del topic…
… dire se f in 0 ha una singolarita' eliminabile, essenziale o un polo…
Sembrerebbe dunque che il discorso sulle ‘singolarità’ sia limitato a queste e solo queste tre scelte. Come ritengo di aver dimostrato però il discorso è vero solo se è vera l’ipotesi che $f(z)$ ammette uno sviluppo in serie di Laurent in un intorno centrato in $z=0$. Come abbiamo visto le funzioni $ln z$ e $z^(- alpha)$ con $alpha$ non intero non fanno parte di questa categoria e pertanto esse si comportano in maniera differente dalle altre. Per chiarire meglio il discorso facciamo un altro esempio, quella della funzione integralesponenziale. Tale funzione è definita come…
$Ei(x)= int_(x)^(+oo) (e^(-t))/t*dt$ (1)
Non è difficile dimostrare che è…
$Ei(x)= - gamma –ln x +int_0^(x) (1-e^(-t))/t*dt=$
$=-gamma –ln x +sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1)*(x^n)/(n*n!)$ (2)
La costante $gamma$ che compare nella (2) è nota come ‘costante di Eulero’ e vale…
$gamma=.577215664901…$ (3)
Riscriviamo ora la (2) in maniera un poco differente…
$Ei(x)= -ln x + g(x)$ con $g(x)= -gamma +sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1)*(x^n)/(n*n!)$ (4)
Ci accorgiamo subito che la funzione è la somma di due termini, ovvero di $g(x)$ e $-ln x$. Il primo termine è una funzione analitica di grado $0$ in $x=0$ e non presenta alcuna singolarità. Il secondo termine [$-ln x$] presenta invece una singolarità in $x=0$ ma, non essendo la funzione sviluppabile in serie di Laurent, non siamo in grado di dire di che tipo di singolarità si tratta. Per colmare questa ‘lacuna’ qualcuno si è inventato le ‘singolarità logaritmiche’, che il lettore può trovare in http://mathworld.wolfram.com/Logarithmi ... arity.html .
A mio parere questa soluzione non è del tutto soddisfacente dal momento che lo stesso problema si presenta con quasi tutte le funzioni polidrome in corrispondenza di un punto di diramazione. Occorrerebbe quindi fare un discorso più generale. Certo un campo di studio davvero interessante per chi volesse cimentarsi…
cordiali saluti
lupo grigio
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Ma $f$ lo ammette lo sviluppo! Io proprio non riesco a capirti. $f$ e' olomorfa per ipotesi in tutta una palla centro escluso, quindi lo ammette lo sviluppo di Laurent in una corona centrata.
"Luca.Lussardi":
Ma $f$ lo ammette lo sviluppo! Io proprio non riesco a capirti. $f$ e' olomorfa per ipotesi in tutta una palla centro escluso, quindi lo ammette lo sviluppo di Laurent in una corona centrata.
Ragazzi
vediamo un poco se mi riesce di interpretare quanto è scritto. In sostanza si afferma che se una non meglio specificata $f$ è analitica all’interno di un cerchio con centro in $z=0$ [per esempio…] con esclusione del centro stesso, allora $f$ ammette il seguente sviluppo di Laurent…
$f(z)= sum_(n=-oo)^(+oo) a_n * z^n$ (1)
Benissimo!… consideriamo allora la seguente funzione…
$f(z)=sqrt(z)$ (2)
... e studiamola [per esempio] nell’intorno di $z=1$. Naturalmente la funzione non è ad un solo valore e come è noto possiede più branche. Scegliamo allora al branca positiva [cioè poniamo $sqrt(1)=1$] e andiamo a valutare la funzione e le sue derivate in $z=1$…
$f(z)= z^(1/2)= 1$ per $z=1$
$f’(z)=1/2*z^(-1/2)=1/2$ per $z=1$
$f’’(z)= -1/4*z^(-3/2)=-1/4$ per $z=1$
…
$f^(n) (z)= 1/2*(1/2-1)*...*(1/2-n+1)* z^(1/2-n)= 1/2*(1/2-1)*...*(1/2-n+1)$ per $z=1$ (3)
Molto bene!... A questo punto basta andare a sostituire nella formula dello sviluppo di Taylor i valori trovati e il gioco è fatto!…
$f(z)= sqrt(z) = 1 + sum_(n=1)^(+oo) 1/2*(1/2-1)*…*(1/2-n+1)*((z-1)^n)/(n!)=$
$= 1+1/2*(z-1)-1/8*(z-1)^2+1/16*(z-1)^3-5/128*(z-1)^4+...$ (4)
Con un poco di pazienza e applicando il criterio del ‘limite superiore’ di dimostra che la serie (4) ha raggio di convergenza $R=1$, ossia converge per $|z-1|<1$. Dal momento che la stessa cosa vale sviluppando la funzione $sqrt(z)$ nell’intorno di un qualsiasi valore $z_0$ con $|z_0|=1$, si deduce che la funzione stessa [o almeno la branca che abbiamo esaminato] è analitica in tutti i punti interni di un cerchio centrato in $z=0$ e di raggio $R=2$, con la sola possibile eccezione di $z=0$….
Bene ragazzi!… a questo punto attendiamo con ansia di conoscere lo sviluppo in serie di Laurent della funzione $sqrt(z)$ nell’intorno di $z=0$!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
1) Teorema: sia $f$ olomorfa in una corona circolare di centro $z_0$; allora $f$ ammette sviluppo di Laurent centrato in $z_0$ nella corona circolare data.
Questo Teorema si trova su tutti i testi di Analisi complessa, e da esso segue la classificazione delle singolarità isolate di una funzione di variabile complessa: sia $f$ una funzione olomorfa in una palla centrata in $z_0$, tranne al più $z_0$ stesso. Allora $z_0$ si dice singolarità isolata di $f$. Grazie all'ipotesi di olomorfia nella palla bucata $f$ ammette lo sviluppo di Laurent centrato nella singolarità e quindi si possono presentare 3 casi:
a) lo sviluppo di Laurent viene di fatto ad essere uno sviluppo di Taylor: singolarità eliminabile.
b) lo sviluppo di Laurent ha un numero finito di addendi del tipo $a_k(z-z_0)^k$, con $k$ intero negativo: polo.
c) lo sviluppo di Laurent ha infiniti termini ad esponente intero negativo: singolarità essenziale.
Si dimostra poi che se $f$, verificante tutto quello supposto, è tale che $|f(z)| -> +\infty$ quando $z->z_0$, allora $z_0$ è un polo per $f$.
Domanda: se ci fosse una branca del logaritmo complesso che ha solo la singolarità in $z=0$ (quindi isolata, poichè tu dici analitica altrove...) e dal momento che $|Log z| ->+\infty$ quando $z->0$, allora $z=0$ è un polo per il logaritmo? e che ordine ha? qual è lo sviluppo di Laurent del logaritmo centrato in $z=0$? Se mi dici che il logaritmo è analitico dappertutto tranne che in $z=0$ uno sviluppo di Laurent deve averlo.
Ultima richiesta: dammi un riferimento testuale di dove io possa trovare un'Analisi complessa dove si dice che le branche del logaritmo complesso sono analitiche dappertutto tranne che in $z=0$, o dove si dice che non è vero che una funzione olomorfa in una palla meno il centro ammette ivi sviluppo di Laurent.
Questo Teorema si trova su tutti i testi di Analisi complessa, e da esso segue la classificazione delle singolarità isolate di una funzione di variabile complessa: sia $f$ una funzione olomorfa in una palla centrata in $z_0$, tranne al più $z_0$ stesso. Allora $z_0$ si dice singolarità isolata di $f$. Grazie all'ipotesi di olomorfia nella palla bucata $f$ ammette lo sviluppo di Laurent centrato nella singolarità e quindi si possono presentare 3 casi:
a) lo sviluppo di Laurent viene di fatto ad essere uno sviluppo di Taylor: singolarità eliminabile.
b) lo sviluppo di Laurent ha un numero finito di addendi del tipo $a_k(z-z_0)^k$, con $k$ intero negativo: polo.
c) lo sviluppo di Laurent ha infiniti termini ad esponente intero negativo: singolarità essenziale.
Si dimostra poi che se $f$, verificante tutto quello supposto, è tale che $|f(z)| -> +\infty$ quando $z->z_0$, allora $z_0$ è un polo per $f$.
Domanda: se ci fosse una branca del logaritmo complesso che ha solo la singolarità in $z=0$ (quindi isolata, poichè tu dici analitica altrove...) e dal momento che $|Log z| ->+\infty$ quando $z->0$, allora $z=0$ è un polo per il logaritmo? e che ordine ha? qual è lo sviluppo di Laurent del logaritmo centrato in $z=0$? Se mi dici che il logaritmo è analitico dappertutto tranne che in $z=0$ uno sviluppo di Laurent deve averlo.
Ultima richiesta: dammi un riferimento testuale di dove io possa trovare un'Analisi complessa dove si dice che le branche del logaritmo complesso sono analitiche dappertutto tranne che in $z=0$, o dove si dice che non è vero che una funzione olomorfa in una palla meno il centro ammette ivi sviluppo di Laurent.
Teorema: sia $f$ olomorfa in una corona circolare di centro $z_0$; allora $f$ ammette sviluppo di Laurent centrato in $z_0$ nella corona circolare data…
Questo teorema si trova su tutti i testi di analisi complessa, e da esso segue la classificazione delle singolarità isolate di una funzione di variabile complessa…
Vero!… confermo che questo teorema si trova su tutti i testi di analisi complessa in mio possesso!…
C’è però un piccolo e insignificante dettaglio: su quasi tutti i testi in mio possesso si omette di dire che tale teorema è valido unicamente per le funzioni ad un solo valore. Solo uno [Murray Spiegel- Laplace Transforms – McGrow-Hill Inc. 1965] riporta all’inizio del capitolo 5 [Complex Variable Function Theory] quanto segue…
Funzioni
Se ad ogni valore di un dato insieme di numeri complessi che possono essere assunti dalla variabile $z$ corrispondono uno o più valori della variabile $w$, si dice che $w$ è funzione di $z$ e si scrive $w=f(z)$…
Una funzione è ad un solo valore se ad ogni valore di $z$ corrisponde un solo valore di $w$. In caso contrario la funzione si dice a più valori…
Se non stabilito diversamente nel seguito si assumerà sempre che $f(z)$ sia ad un solo valore. Una funzione a più valori può essere considerata come un gruppo di funzioni ad un solo valore…
Anche se qualcuno finge di ignorarlo, il nocciolo della questione sta tutto in questo: una funzione a più valori in un punto singolare non si comporta nello stesso modo di una funzione ad un solo valore. Non a caso ho riportato due ‘controesempi’ che coinvolgono funzioni a più valori: il logaritmo e la radice quadrata. Per entrambe queste funzioni si è trovato lo sviluppo di Taylor in un intorno di un certo $z_0$ [in entrambi i casi risulta $z_0=1$…]. Vediamo di chiarire bene le cose affinchè non ci siano dubbi di sorta…
Scriviamo per prima cosa lo sviluppo di Taylor di una funzione $f(z)$ nell’intorno di un punto $z_0$…
$f(z)= sum_(n=0)^(+oo) f^((n))(z_0)*((z-z_0)^n)/(n!)$ (1)
Ponendo $p=z-z_0$ la (1) diviene…
$f(p)= sum_(n=0)^(+oo) f^((n))(0)*p^n/(n!)$ (2)
… ossia una serie di potenze in $p$. Al primo anno di università mi hanno insegnato che la serie (2) converge in tutti punti interni di un cerchio centrato in $0$ di raggio $R$, ossia per $|p| 
… ] che ciò sia ancora vero si deduce che…
a) la (1) è convergente per ogni valore di $z$ interno a un cerchio centrato in $z_0$ di raggio $R$
b) entro il suddetto cerchio la (1) è analitica
Fin qui tutto ok, vero?… Bene ragazzi andiamo a vedere ora il secondo esempio [più semplice del primo…], quello della radice quadrata, ossia di $f(z)=sqrt(z)$. Si è trovato che nell’intorno di $z=1$ è…
$sqrt(z)= 1 +1/2*(z-1) –1/8*(z-1)^2+1/16*(z-1)^3-5/128*(z-1)^4+…$ (3)
… e che questa serie ha raggio di convergenza $R=1$. Per quanto abbiamo testè affermato la stessa serie centrata in qualsiasi altro valore $z_0$ avrà sempre raggio di convergenza $R=1$. Scegliamo allora $z_0= e^(j*theta)$ e sostituiamo direttamente nella (1)…
$sqrt(z)= e^(j*theta/2)+1/2*(z-e^(j*theta))-1/8*(z-e^(j*theta))^2+$
$+1/16*(z-e^(j*theta))^3-5/128*(z-e^(j*theta))^4+…$ (4)
Al variare di $theta$, $z_0$ si muove lungo un circonferenza come mostrato nella animazione che vedete qua sotto…
Il cerchio in questione [di colore rosa…] si muove di conseguenza e dopo due ‘giri’ il valore della funzione si ripete. Come dimostra anche l’evidenza geometrica dunque la funzione $f(z)=sqrt(z)$ è analitica in ogni punto interno al cerchio centrato in $z=0$ e di raggio $R=2$, con l’esclusione del punto $z=0$. Non è che ci sono dubbi, vero?…
Bene ragazzi, lasciamo ora in pace la radice quadrata e occupiamoci del logaritmo. Abbiamo dimostrato che in un intorno di $z=1$ è…
$ln z= (z-1)-1/2*(z-1)^2+1/3*(z-1)^3-1/4*(z-1)^4+...$ (5)
… e che la serie ha raggio di convergenza $R=1$. Benissimo, ripetiamo dunque il giochino fatto prima ponendo $z_0=e^(j*theta)$ e vediamo un po’ che cosa salta fuori…
$ln z= j*theta + (z-e^(j*theta))-1/2*(z-e^(j*theta))^2+$
$+1/3*(z-e^(j*theta))^3-1/4*(z-e^(j*theta))^4+…$ (6)
Salta fuori la stessa cosa vista prima con la radice quadrata, vale a dire che la funzione è analitica in tutti i punti interni al cerchio di raggio $R=2$ centrato in $z=0$ con esclusione del punto $z=0$. A differenza del caso della radice quadrata, al variare di $theta$ il valore del logaritmo non assume più il valore iniziale. In altre parole il logaritmo non ha due branche come la radice quadrata, bensì infinite branche… e questo del resto lo sapevamo già…
Per finire dunque abbiamo dimostrato il casi di due funzioni [entrambe guarda caso a più valori…] che sono analitiche all’interno di una ‘palla’ centrata nell’origine e che tuttavia non ammettono lo sviluppo in serie di Laurent nell’origine. Oddio se qualcuno vuole ‘smentire’ questa mia ultima affermazione lo può fare in maniera assai semplice e convincente: fornire lo sviluppo in serie di Laurent delle funzioni $sqrt(z)$ e $ln z$ centrate in $z=0$ …
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Questo teorema si trova su tutti i testi di analisi complessa, e da esso segue la classificazione delle singolarità isolate di una funzione di variabile complessa…
Vero!… confermo che questo teorema si trova su tutti i testi di analisi complessa in mio possesso!…
C’è però un piccolo e insignificante dettaglio: su quasi tutti i testi in mio possesso si omette di dire che tale teorema è valido unicamente per le funzioni ad un solo valore. Solo uno [Murray Spiegel- Laplace Transforms – McGrow-Hill Inc. 1965] riporta all’inizio del capitolo 5 [Complex Variable Function Theory] quanto segue…
Funzioni
Se ad ogni valore di un dato insieme di numeri complessi che possono essere assunti dalla variabile $z$ corrispondono uno o più valori della variabile $w$, si dice che $w$ è funzione di $z$ e si scrive $w=f(z)$…
Una funzione è ad un solo valore se ad ogni valore di $z$ corrisponde un solo valore di $w$. In caso contrario la funzione si dice a più valori…
Se non stabilito diversamente nel seguito si assumerà sempre che $f(z)$ sia ad un solo valore. Una funzione a più valori può essere considerata come un gruppo di funzioni ad un solo valore…
Anche se qualcuno finge di ignorarlo, il nocciolo della questione sta tutto in questo: una funzione a più valori in un punto singolare non si comporta nello stesso modo di una funzione ad un solo valore. Non a caso ho riportato due ‘controesempi’ che coinvolgono funzioni a più valori: il logaritmo e la radice quadrata. Per entrambe queste funzioni si è trovato lo sviluppo di Taylor in un intorno di un certo $z_0$ [in entrambi i casi risulta $z_0=1$…]. Vediamo di chiarire bene le cose affinchè non ci siano dubbi di sorta…
Scriviamo per prima cosa lo sviluppo di Taylor di una funzione $f(z)$ nell’intorno di un punto $z_0$…
$f(z)= sum_(n=0)^(+oo) f^((n))(z_0)*((z-z_0)^n)/(n!)$ (1)
Ponendo $p=z-z_0$ la (1) diviene…
$f(p)= sum_(n=0)^(+oo) f^((n))(0)*p^n/(n!)$ (2)
… ossia una serie di potenze in $p$. Al primo anno di università mi hanno insegnato che la serie (2) converge in tutti punti interni di un cerchio centrato in $0$ di raggio $R$, ossia per $|p|
… ] che ciò sia ancora vero si deduce che… a) la (1) è convergente per ogni valore di $z$ interno a un cerchio centrato in $z_0$ di raggio $R$
b) entro il suddetto cerchio la (1) è analitica
Fin qui tutto ok, vero?… Bene ragazzi andiamo a vedere ora il secondo esempio [più semplice del primo…], quello della radice quadrata, ossia di $f(z)=sqrt(z)$. Si è trovato che nell’intorno di $z=1$ è…
$sqrt(z)= 1 +1/2*(z-1) –1/8*(z-1)^2+1/16*(z-1)^3-5/128*(z-1)^4+…$ (3)
… e che questa serie ha raggio di convergenza $R=1$. Per quanto abbiamo testè affermato la stessa serie centrata in qualsiasi altro valore $z_0$ avrà sempre raggio di convergenza $R=1$. Scegliamo allora $z_0= e^(j*theta)$ e sostituiamo direttamente nella (1)…
$sqrt(z)= e^(j*theta/2)+1/2*(z-e^(j*theta))-1/8*(z-e^(j*theta))^2+$
$+1/16*(z-e^(j*theta))^3-5/128*(z-e^(j*theta))^4+…$ (4)
Al variare di $theta$, $z_0$ si muove lungo un circonferenza come mostrato nella animazione che vedete qua sotto…
Il cerchio in questione [di colore rosa…] si muove di conseguenza e dopo due ‘giri’ il valore della funzione si ripete. Come dimostra anche l’evidenza geometrica dunque la funzione $f(z)=sqrt(z)$ è analitica in ogni punto interno al cerchio centrato in $z=0$ e di raggio $R=2$, con l’esclusione del punto $z=0$. Non è che ci sono dubbi, vero?…
Bene ragazzi, lasciamo ora in pace la radice quadrata e occupiamoci del logaritmo. Abbiamo dimostrato che in un intorno di $z=1$ è…
$ln z= (z-1)-1/2*(z-1)^2+1/3*(z-1)^3-1/4*(z-1)^4+...$ (5)
… e che la serie ha raggio di convergenza $R=1$. Benissimo, ripetiamo dunque il giochino fatto prima ponendo $z_0=e^(j*theta)$ e vediamo un po’ che cosa salta fuori…
$ln z= j*theta + (z-e^(j*theta))-1/2*(z-e^(j*theta))^2+$
$+1/3*(z-e^(j*theta))^3-1/4*(z-e^(j*theta))^4+…$ (6)
Salta fuori la stessa cosa vista prima con la radice quadrata, vale a dire che la funzione è analitica in tutti i punti interni al cerchio di raggio $R=2$ centrato in $z=0$ con esclusione del punto $z=0$. A differenza del caso della radice quadrata, al variare di $theta$ il valore del logaritmo non assume più il valore iniziale. In altre parole il logaritmo non ha due branche come la radice quadrata, bensì infinite branche… e questo del resto lo sapevamo già…
Per finire dunque abbiamo dimostrato il casi di due funzioni [entrambe guarda caso a più valori…] che sono analitiche all’interno di una ‘palla’ centrata nell’origine e che tuttavia non ammettono lo sviluppo in serie di Laurent nell’origine. Oddio se qualcuno vuole ‘smentire’ questa mia ultima affermazione lo può fare in maniera assai semplice e convincente: fornire lo sviluppo in serie di Laurent delle funzioni $sqrt(z)$ e $ln z$ centrate in $z=0$
… cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Una funzione per definizione è una relazione tra insiemi ad un sol valore; se nel testo è detto "sia $f$ una funzione..." allora si intende sempre ad un sol valore.
"funzione a più valori" è solo un abuso di linguaggio; sarebbe meglio risolvere la cosa nella teoria degli insiemi: le relazioni tra insiemi possono essere monodrome o polidrome; una funzione è una relazione monodroma.
La dicitura "funzione polidroma" è scorretta, in quanto fa pensare una cosa errata, e cioè che la polidromia sia una proprietà che hanno certe funzioni, quando invece una funzione per definizione è ad un sol valore.
Fatto sta che la relazione inversa dell'esponenziale complesso è una relazione polidroma, e questo è vero; quindi non è una funzione, ma sono funzioni le cosidette branche.
Tornando all'esercizio di Platone, ritengo che sia formulato in modo completo e corretto: una funzione olomorfa PER DEFINIZIONE è ad un sol valore.
"funzione a più valori" è solo un abuso di linguaggio; sarebbe meglio risolvere la cosa nella teoria degli insiemi: le relazioni tra insiemi possono essere monodrome o polidrome; una funzione è una relazione monodroma.
La dicitura "funzione polidroma" è scorretta, in quanto fa pensare una cosa errata, e cioè che la polidromia sia una proprietà che hanno certe funzioni, quando invece una funzione per definizione è ad un sol valore.
Fatto sta che la relazione inversa dell'esponenziale complesso è una relazione polidroma, e questo è vero; quindi non è una funzione, ma sono funzioni le cosidette branche.
Tornando all'esercizio di Platone, ritengo che sia formulato in modo completo e corretto: una funzione olomorfa PER DEFINIZIONE è ad un sol valore.
Purtroppo funzioni 'a più valori' del tipo $ln z$, $tan^(-1) z$, $z^alpha$ con $alpha$ non intero e tante altre si incontrano spessissimo nella soluzione di problemi pratici e per questo non possono essere 'ghettizzate' o 'discriminate'. Se dunque è gioco forza accettarle, è anche gioco forza adattarsi alle loro caratteristiche. Una di queste è che, a differenza delle funzioni 'ad un sol valore', presentano particolari punti detti 'punti di diramazione' nell'intorno dei quali non ammettono lo sviluppo in serie di Laurent. Di conseguenza tali 'singolarità' non possono essere schematizzate alla stessa maniera delle 'singolarità isolate' come di norma sono intese. A mio modesto parere poi tutto il discorso relativo alle 'singolarità' di una funzione andrebbe rivisto, da un lato per eliminare il concetto di per sè stesso contraddittorio di 'singolarità eliminabili', da un altro lato per introdurre nuovi differenti tipi di singlarità quali, ad esempio, le già accennate 'singolarità logaritmiche'...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
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Nessuno sta dicendo che vengono discriminate, ma per definizione non sono funzioni, tutto qua. Quando in un testo si trova la parola "funzione" si intende sempre una relazione monodroma, ovvero ad un sol valore.
Il punto è che se c'è polidromia, essa va specificata, e non viceversa. Ovvero se nulla è detto il termine funzione va inteso come relazione ad un sol valore.
Lo so bene anche io poi che sono importanti le relazioni polidrome, trovano svariati campi di applicazione. Ad esempio in PDE giocano un ruolo fondamentale le funzioni convesse; ebbene si dimostra che una funzione convessa, sotto certe deboli ipotesi, ammette sottodifferenziale, il quale risulta una "funzione polidroma", tant'è che equazioni differenziali diventano "inclusioni differenziali".
Non vedo poi che contraddizioni porti il discorso delle singolarità eliminabili: portami un facile esempio di contraddizione, ma contraddizione vera però.
Il punto è che se c'è polidromia, essa va specificata, e non viceversa. Ovvero se nulla è detto il termine funzione va inteso come relazione ad un sol valore.
Lo so bene anche io poi che sono importanti le relazioni polidrome, trovano svariati campi di applicazione. Ad esempio in PDE giocano un ruolo fondamentale le funzioni convesse; ebbene si dimostra che una funzione convessa, sotto certe deboli ipotesi, ammette sottodifferenziale, il quale risulta una "funzione polidroma", tant'è che equazioni differenziali diventano "inclusioni differenziali".
Non vedo poi che contraddizioni porti il discorso delle singolarità eliminabili: portami un facile esempio di contraddizione, ma contraddizione vera però.
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