Singolarità essenziale

[poncelet]

Devo classificare le singolarità di questa funzione:

[tex]$e^{\frac{z}{3-z}}$[/tex]

Abbiamo una singolarità in [tex]$z=3$[/tex]

Per classificarla procederei a calcolare il limite

[tex]$\lim_{z\to 3}e^{\frac{z}{3-z}}$[/tex]

che a me verrebbe [tex]$+\infty$[/tex]

che mi caratterizzerebbe un polo mentre invece la soluzione dice che si tratta di singolarità essenziale. Sbaglio il limite vero?

[maurer]

Certo, sbagli il limite. Per un sacco di motivi! Ad esempio [tex]\displaystyle \lim_{\mathbb R \ni t \to +\infty} e^{it}[/tex] non esiste e quindi restringendoti ad opportune curve che adesso non ho voglia di ricavare, troverai che neppure il limite che vuoi calcolare tu esiste!

Il modo più rapido di fare queste cose è cercare lo sviluppo in serie di Laurent (leggi: ricondursi a sviluppi di Laurent noti). In particolare operiamo la sostituzione
[tex]w = z - 3[/tex] e consideriamo [tex]g(w) = f(w + 3) = e^{-\frac{w + 3}{w}} = e^{- 1 + \frac{3}{w}} = e^{-1} e^{\frac{3}{w}}[/tex] e adesso
[tex]\displaystyle e^{\frac{3}{w}} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{3^k}{k!} \frac{1}{w^k}[/tex] che è lo sviluppo in serie di Laurent desiderato. Ci sono infiniti coefficienti non nulli, sicché la singolarità è proprio essenziale.

[poncelet]

Adesso dirò (forse) una bestialità. A me sembrava di aver capito studiando la teoria che una singolarità isolata è essenziale se lo sviluppo in serie di Laurent presenta un numero infinito di termini negativi non nulli. Nella serie che hai ricavato tu i termini non sono tutti positivi? E' molto probabile che io non abbia capito la teoria, nel caso mi dici dove sbaglio?
Grazie.

[maurer]

Hai capito benissimo. Ma guarda lo sviluppo che ho ricavato: i termini sono in realtà quelli negativi!

[poncelet]

Nel senso che la serie sarebbe:

[tex]$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{3^{k}}{k!}w^{-k}$[/tex]

vero?
Perché mi perdo in un bicchiere d'acqua?

[gugo82]

Beh, [tex]w^{-k}=\frac{1}{w^k}[/tex], quindi...