Singolarità
Salve ,
Un esercizio chiede di trovare tutte le singolarità della seguente funzione.
$f(z)=(cosz*sinhz)/((z^2+4pi^2)(z^2-pi^2/4)(z^2-pi^2)^3)$
Ho scomposto l'esprezione a denominatore ottenendo :
$f(z)=(cosz*sinhz)/((z-2pij)(j+2pij)(z+pij/2)(z-pij/2)((z+pi)(z-pi))^3)$
Se ho ben capito , in $+-pi$ c'é un polo del III ordine in quanto azzera $((z+pi)(z-pi))^3)$,
sostituendo $+-pi$ non annulla il numeratore ed esendo quest'ultimo analitico in $+-pi$
il risultato é il polo.
in $+-pi/2$ , vale la stessa regola ? l'unica differenza é che c'é un polo del I ordine e non del III ?
quello che non mi è chiaro é cosa ottengo sostituendo $(+-pi/2)$ al numeratore. non dovrebbe
valere 0 ?
Per qunato riguarda invece $+-2pij$ pensavo ci fosse anche qui un polo semplice , ma la soluzione
dell'esercizio dice che c'é una singolarità apparente. cosa rappresenta questa in parole povere ? una
singolarità che non é in realtà una singolarità ? é tipo un "punto di discontinuità eliminabile" ?
(forse l'ho sparata troppo grossa ...)
Da cosa lo capisco che questa é una singolarità apparente in un esercizio cosi' ?
grazie
Ben
Un esercizio chiede di trovare tutte le singolarità della seguente funzione.
$f(z)=(cosz*sinhz)/((z^2+4pi^2)(z^2-pi^2/4)(z^2-pi^2)^3)$
Ho scomposto l'esprezione a denominatore ottenendo :
$f(z)=(cosz*sinhz)/((z-2pij)(j+2pij)(z+pij/2)(z-pij/2)((z+pi)(z-pi))^3)$
Se ho ben capito , in $+-pi$ c'é un polo del III ordine in quanto azzera $((z+pi)(z-pi))^3)$,
sostituendo $+-pi$ non annulla il numeratore ed esendo quest'ultimo analitico in $+-pi$
il risultato é il polo.
in $+-pi/2$ , vale la stessa regola ? l'unica differenza é che c'é un polo del I ordine e non del III ?
quello che non mi è chiaro é cosa ottengo sostituendo $(+-pi/2)$ al numeratore. non dovrebbe
valere 0 ?
Per qunato riguarda invece $+-2pij$ pensavo ci fosse anche qui un polo semplice , ma la soluzione
dell'esercizio dice che c'é una singolarità apparente. cosa rappresenta questa in parole povere ? una
singolarità che non é in realtà una singolarità ? é tipo un "punto di discontinuità eliminabile" ?
(forse l'ho sparata troppo grossa ...)
Da cosa lo capisco che questa é una singolarità apparente in un esercizio cosi' ?
grazie
Ben
Risposte
Un polo $z=c$ è una singolarità tale per cui $|f(z)|$ tende a $+\infty$ se $z \to c$. Se invece tale limite è finito $c$ si dice singolarità eliminabile. Se nessuno dei due casi è verificato la singolarità è essenziale.
Tutto ciò vale ovviamente per le singolarità isolate.
Tutto ciò vale ovviamente per le singolarità isolate.
Grazie per la risposta.
Dunque se ho ben capito , la singolarità eliminabile è uguale alla apparente , e la si individua
risolvendo il limite che dovrebbe essere finito. Anche se non mi è chiaro come impostarlo
alla funzione precedente. nel caso precedente , cosa faccio $lim_(z->+-2pij)f(z)$ ?
La definizione che mi hai dato è simile a quella che trovo sul mio libro di testo ed e credo sia per
me "abbastanza" chiara quando cerco la singolarità su una funzione poco articolata.
Il problema è quando devo determinare il tipo di singolarità per una funzione come quella che
ho inserito nel post. In questo caso cosa fai , la scomponi e applichi il limite per $z->c$ su ogni parte ?
Ho visto che gli esercizi risolti sul mio testo , per funzioni di questo tipo vengono risolti con
il metodo (ammesso che sia giusto come io l'abbia riportato ) che ho scritto nei 3 punti precedenti.
Per altri invece passa agli sviluppi in serie di laurent, quindi credevo vi fosse un metodo per
individuare le singolarità apparenti senza passare dal limite o dallo sviluppo in serie.
un'altra cosa , ma $cos(pi/2)*sinh(pi/2)$ non dovrebbe fare 0. ?
Grazie
Ben
Dunque se ho ben capito , la singolarità eliminabile è uguale alla apparente , e la si individua
risolvendo il limite che dovrebbe essere finito. Anche se non mi è chiaro come impostarlo
alla funzione precedente. nel caso precedente , cosa faccio $lim_(z->+-2pij)f(z)$ ?
La definizione che mi hai dato è simile a quella che trovo sul mio libro di testo ed e credo sia per
me "abbastanza" chiara quando cerco la singolarità su una funzione poco articolata.
Il problema è quando devo determinare il tipo di singolarità per una funzione come quella che
ho inserito nel post. In questo caso cosa fai , la scomponi e applichi il limite per $z->c$ su ogni parte ?
Ho visto che gli esercizi risolti sul mio testo , per funzioni di questo tipo vengono risolti con
il metodo (ammesso che sia giusto come io l'abbia riportato ) che ho scritto nei 3 punti precedenti.
Per altri invece passa agli sviluppi in serie di laurent, quindi credevo vi fosse un metodo per
individuare le singolarità apparenti senza passare dal limite o dallo sviluppo in serie.
un'altra cosa , ma $cos(pi/2)*sinh(pi/2)$ non dovrebbe fare 0. ?
Grazie
Ben
qualcuno mi potrebbe aiutare ?
"ben":
Salve ,
Un esercizio chiede di trovare tutte le singolarità della seguente funzione.
$f(z)=(cosz*sinhz)/((z^2+4pi^2)(z^2-pi^2/4)(z^2-pi^2)^3)$
Ho scomposto l'esprezione a denominatore ottenendo :
$f(z)=(cosz*sinhz)/((z-2pij)(j+2pij)(z+pij/2)(z-pij/2)((z+pi)(z-pi))^3)$
Innanzitutto c'è qualche errore nella scomposizione.
Questa è quella corretta
$f(z)=(cosz*sinhz)/((z-2pij)(z+2pij)(z+pi/2)(z-pi/2)((z+pi)(z-pi))^3)$
Gli zeri del denominatore sono: $j2pi,-j2pi,pi/2,-pi/2,pi,-pi$.
Ora domandiamoci: quali di questi sono anche zeri del numeratore?
grazie , adesso guardo e dopo rispondo.
per quanto riguarda l'errore nella scomposizione , si mi sono accorto di aver sbagliato a trascrivere.
Gli zeri del denominatore sono :
$Z_(1,2)=+-2pij$ Zero del I ordine
$Z_(2,3)=+-pi/2$ Zero del I ordine
$Z_(1,2)=+-pi$ Zero del III ordine
Quali di questi annullano anche il numeratore ?
1) $Z_(1,2)=+-2pij$ annullano "solo" $sinh(z)$ con uno zero del primo ordine , dunque $Z_(1,2)=+-2pij$
sono singolarità apparenti , in cui $f(z)$ si considera prolungata.
2) $Z_(2,3)=+-pi/2$ annullano "solo" $cosz$ con uno zero del primo ordine, dunque sono per $f(z)$ singolarità
apparenti.
3) $Z_(1,2)=+-pi$ non annullano il numeratore , e dunque $Z_(1,2)=+-pi$ sono dei poli tripli per $f(z)$ , in
quanto se $h(z)$ é il numeratore abbiamo che é analitica e $h(z_0)!=0$.
dubbi :
Se ho capito bene , nel caso 1) (e poi anche nel caso 2) abbiammo ottenuto singolarità apparenti perché il numeratore
non viene completamente annullato e inoltre a denominatore l'ordine dello zero, per esempio in $Z_(1,2)=+-2pij$
é pari a I. Nella stessa situazione se a denominatore per $Z_(1,2)=+-2pij$ avessi avuto uno zero di ordine II , la
singolartia ottenuta sarebbe stata un polo semplice . giusto ?
Sempre nel caso 1) , é corretto dire che la funzione prolungata é $f(z)=cos(2pij)/((2pij)^2((2pij)^2-pi^2/4)(((2pij)^2-pi^2))^3)
Gli zeri del denominatore sono :
$Z_(1,2)=+-2pij$ Zero del I ordine
$Z_(2,3)=+-pi/2$ Zero del I ordine
$Z_(1,2)=+-pi$ Zero del III ordine
Quali di questi annullano anche il numeratore ?
1) $Z_(1,2)=+-2pij$ annullano "solo" $sinh(z)$ con uno zero del primo ordine , dunque $Z_(1,2)=+-2pij$
sono singolarità apparenti , in cui $f(z)$ si considera prolungata.
2) $Z_(2,3)=+-pi/2$ annullano "solo" $cosz$ con uno zero del primo ordine, dunque sono per $f(z)$ singolarità
apparenti.
3) $Z_(1,2)=+-pi$ non annullano il numeratore , e dunque $Z_(1,2)=+-pi$ sono dei poli tripli per $f(z)$ , in
quanto se $h(z)$ é il numeratore abbiamo che é analitica e $h(z_0)!=0$.
dubbi :
Se ho capito bene , nel caso 1) (e poi anche nel caso 2) abbiammo ottenuto singolarità apparenti perché il numeratore
non viene completamente annullato e inoltre a denominatore l'ordine dello zero, per esempio in $Z_(1,2)=+-2pij$
é pari a I. Nella stessa situazione se a denominatore per $Z_(1,2)=+-2pij$ avessi avuto uno zero di ordine II , la
singolartia ottenuta sarebbe stata un polo semplice . giusto ?
Sempre nel caso 1) , é corretto dire che la funzione prolungata é $f(z)=cos(2pij)/((2pij)^2((2pij)^2-pi^2/4)(((2pij)^2-pi^2))^3)
Per favore , qualcuno potrebbe verificare se è corretto l'ultimo esercizio che ho fatto ?
grazie
grazie
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