Simboli di Landau (o Piccolo) e Taylor
Ciao a tutti ragazzi sto provando a risolvere alcuni limiti con gli sviluppi di Taylor ma non ho ben capito l'utilizzo dell'o piccolo e le varie formule di Taylor.
LIMITE [arctg(4x)-(2x^3)+1-cos(2x)] / [(sin(x^3)-(x^2)+(e^x)-1]
Io ho il seguente limite ma non ho capito che esponente bisogna mettere all'o piccolo e quando mi devo "fermare" nella formula di taylor..esempio:
Sapendo che e^x è uguale a :
e^x = 1+x+(x^2/2)+(x^3/3!) + .... + o(x^n)
In base a cosa scrivo semplicemente 1+x+ o(x^n) tralasciando quindi i successivi termini (x^2/2 etc etc..) e quale sarà l'esponente che andrò a mettere a o(x^n) ? Se gentilmente mi potete spiegare qual'è il metodo generale...grazie a tutti
LIMITE [arctg(4x)-(2x^3)+1-cos(2x)] / [(sin(x^3)-(x^2)+(e^x)-1]
Io ho il seguente limite ma non ho capito che esponente bisogna mettere all'o piccolo e quando mi devo "fermare" nella formula di taylor..esempio:
Sapendo che e^x è uguale a :
e^x = 1+x+(x^2/2)+(x^3/3!) + .... + o(x^n)
In base a cosa scrivo semplicemente 1+x+ o(x^n) tralasciando quindi i successivi termini (x^2/2 etc etc..) e quale sarà l'esponente che andrò a mettere a o(x^n) ? Se gentilmente mi potete spiegare qual'è il metodo generale...grazie a tutti
Risposte
In base a dove ti fermi:
$e^x=1+x+o(x)$
$e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+o(x^2)$
$e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
etc...
Nota infatti che in $o(x^n)$ ci stanno tutti i termini con $x^m$, con $m>n$.
$e^x=1+x+o(x)$
$e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+o(x^2)$
$e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
etc...
Nota infatti che in $o(x^n)$ ci stanno tutti i termini con $x^m$, con $m>n$.
Non credo che hai risposto alla mia domanda...cioè quando mi devo fermare al primo termine x^2/2 quando al secondo e via dicendo..? Poi,come faccio a calcolare l'o piccolo? Cioè scrivo o(x^n) ma a quanto è uguale ?
Ciao Darakum, prima di tutto essendo una forma $0/0$ potresti utilizzare de l'Hospital per avere un risultato da confrontare. Per la prima domanda, solitamente in questa tipologia di esercizi ti accorgi quando ti devi fermare, attenzione devi sviluppare tutti i termini al medesimo ordine. Ad esempio se sviluppi tutto al prim'ordine potresti ottenere ancora $0/0$ e quindi devi sviluppare al secondo, se sviluppi anche a ordini successivi ci saranno dei termini che si annuleranno e quindi saranno del tutto inifluenti per il calcolo del limite. Per quanto riguarda l'o-piccolo se decidi di fermarti al terz'ordine scrivi $o(x^3)$ e nel tuo limite ci sarà al massimo $x^3$. Se poi fai tendere x a zero l'o-piccolo sparisce. Posta lo sviluppo del limite. 
Allora... Non c'è una regola generale per decidere a che ordine fermarti.
Una cosa ovvia è che puoi sbagliarti solo fermandoti prima, non andando in eccesso; il fatto è che se sviluppi con troppi termini rischi di perderti in calcoli inutili.
$o(x^n)$ è, per definizione, tutto ciò che diviso per $x^n$ tende a zero.
Come ti ho già scritto $o(x^n)$ comprende tutti gli $x^m$, con $m>n$.
ora se guardi lo sviluppo di $e^x$ arrestato all'n-esimo ordine, hai $e^x=\sum_{i=0}^{n} frac{x^i}{i!} + o(x^n)$. questo ti dice che se tu approssimi $e^x$ all'ordine n, tralasci solamente termini che sono trascurabili rispetto ad $x^n$.
Quindi se, ad esempio, sviluppi $e^x=1+x+1/2*x^2$ in realtà stai tralasciando $1/6*x^3+1/24*x^4+...$ che sono tutti termini trascurabili rispetto ad $x^2$. per dire ció in maniera compatta dici: $e^x=1+x+1/2*x^2+o(x^2)$.
Ora dobbiamo capire a che ordine fermarci: non c'è una regola precisa; diciamo che in genere si va "ad occhio".
Tu hai questo LIMITE: $frac{arctg(4x)-(2x^3)+1-cos(2x)}{(sin(x^3)-(x^2)+(e^x)-1]}$.
la presenza di un $x^3$ al numeratore suggerisce di sviluppare il numeratore fino al terzo (meglio quarto) ordine. Fai lo stesso con il denominatore.
Una cosa ovvia è che puoi sbagliarti solo fermandoti prima, non andando in eccesso; il fatto è che se sviluppi con troppi termini rischi di perderti in calcoli inutili.
$o(x^n)$ è, per definizione, tutto ciò che diviso per $x^n$ tende a zero.
Come ti ho già scritto $o(x^n)$ comprende tutti gli $x^m$, con $m>n$.
ora se guardi lo sviluppo di $e^x$ arrestato all'n-esimo ordine, hai $e^x=\sum_{i=0}^{n} frac{x^i}{i!} + o(x^n)$. questo ti dice che se tu approssimi $e^x$ all'ordine n, tralasci solamente termini che sono trascurabili rispetto ad $x^n$.
Quindi se, ad esempio, sviluppi $e^x=1+x+1/2*x^2$ in realtà stai tralasciando $1/6*x^3+1/24*x^4+...$ che sono tutti termini trascurabili rispetto ad $x^2$. per dire ció in maniera compatta dici: $e^x=1+x+1/2*x^2+o(x^2)$.
Ora dobbiamo capire a che ordine fermarci: non c'è una regola precisa; diciamo che in genere si va "ad occhio".
Tu hai questo LIMITE: $frac{arctg(4x)-(2x^3)+1-cos(2x)}{(sin(x^3)-(x^2)+(e^x)-1]}$.
la presenza di un $x^3$ al numeratore suggerisce di sviluppare il numeratore fino al terzo (meglio quarto) ordine. Fai lo stesso con il denominatore.
Ciao ragazzi,grazie ad entrambi per la risposta.
Mi potete gentilmente spiegare la questione dell'o piccolo? Ovvero da come ho capito,dovrò scrivere o(x^2) se mi fermo al secondo ordine o(x^3) al terzo e via dicendo.? In più successivamente,quando andrò a sostituire i vari arctg,sen e cos con gli sviluppi di taylor i vari o piccoli che fine fanno?
PS. se magari avete voglia e sopratutto tempo,mi aiutate a risolvere il limite?
Mi potete gentilmente spiegare la questione dell'o piccolo? Ovvero da come ho capito,dovrò scrivere o(x^2) se mi fermo al secondo ordine o(x^3) al terzo e via dicendo.? In più successivamente,quando andrò a sostituire i vari arctg,sen e cos con gli sviluppi di taylor i vari o piccoli che fine fanno?
PS. se magari avete voglia e sopratutto tempo,mi aiutate a risolvere il limite?
Ad esempio sviluppando al second'ordine:
\begin{equation}
artg(4x)=4x-\frac{64x^3}{3}+\frac{1024x^5}{5}+o(x^5)
\end{equation}
\begin{equation}
cos(2x)=1-\frac{4x^2}{2}+\frac{16x^4}{24}+o(x^5)
\end{equation}
il tuo numeratore diventa:
\begin{equation}
4x-\frac{64x^3}{3}+\frac{1024x^5}{5}+o(x^5)-2x^3+1-1+\frac{4x^2}{2}-\frac{16x^4}{24}-o(x^5)=
\end{equation}
\begin{equation}
4x-\frac{58x^3}{3}+\frac{1024x^5}{5}+\frac{4x^2}{2}-\frac{16x^4}{24}
\end{equation}
Una volta ho letto una descrizione dell'o-piccolo molto interessante, "l'o-piccolo è come il cestino della spazzatura, tutti i termini maggiori del grado scelto vengono eliminati". Ad esempio se in una somma ho
\begin{equation}
x+x^2+33x^3+452x^4+5x^{10}+o(x)+o(x^2)+o(x^3)+o(x^4)+o(x^{10})
\end{equation}
decido di fermarmi al grado 10:
\begin{equation}
x+x^2+33x^3+452x^4+5x^{10}+o(x^{10})
\end{equation}
se decido di fermarmi al grado 3:
\begin{equation}
x+x^2+33x^3+o(x^3)
\end{equation}
Questo deriva dalla definizione di o piccolo -> i-simboli-di-landau-t66257.html
Il denominatore lo lascio a te, posta i passaggi
\begin{equation}
artg(4x)=4x-\frac{64x^3}{3}+\frac{1024x^5}{5}+o(x^5)
\end{equation}
\begin{equation}
cos(2x)=1-\frac{4x^2}{2}+\frac{16x^4}{24}+o(x^5)
\end{equation}
il tuo numeratore diventa:
\begin{equation}
4x-\frac{64x^3}{3}+\frac{1024x^5}{5}+o(x^5)-2x^3+1-1+\frac{4x^2}{2}-\frac{16x^4}{24}-o(x^5)=
\end{equation}
\begin{equation}
4x-\frac{58x^3}{3}+\frac{1024x^5}{5}+\frac{4x^2}{2}-\frac{16x^4}{24}
\end{equation}
Una volta ho letto una descrizione dell'o-piccolo molto interessante, "l'o-piccolo è come il cestino della spazzatura, tutti i termini maggiori del grado scelto vengono eliminati". Ad esempio se in una somma ho
\begin{equation}
x+x^2+33x^3+452x^4+5x^{10}+o(x)+o(x^2)+o(x^3)+o(x^4)+o(x^{10})
\end{equation}
decido di fermarmi al grado 10:
\begin{equation}
x+x^2+33x^3+452x^4+5x^{10}+o(x^{10})
\end{equation}
se decido di fermarmi al grado 3:
\begin{equation}
x+x^2+33x^3+o(x^3)
\end{equation}
Questo deriva dalla definizione di o piccolo -> i-simboli-di-landau-t66257.html
Il denominatore lo lascio a te, posta i passaggi
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