Significato geometrico differenziabilità

[miik91]

Salve a tutti. Vorrei avere dei chiarimenti sul significato geometrico della differenziabilità. Osservando un grafico di una funzione in due variabili, come faccio ad accorgermi se una funzione è differenziabile o meno in un punto?? Ad esempio nella funzione :

[math] f(x,y)=(x^2(y-1))^{(1/3)} +1 [/math]

Nel punto (x,y)=(0,1), la funzione non è differenziabile, ma ciò cosa significa graficamente? Che cosa si può notare riguardo il grafico della funzione nel punto (0,1)?? Grazie a tutti in anticipo.

[hakunamatata]

http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090622094620AAaEv8V
nn so se c'entra molto..

[miik91]

Beh in realtà cercavo qualcosa di più esaustivo. Ciò che mi interessa particolarmente è come riconoscere dal grafico se una funzione in un punto è differenziabile o meno.

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Nessuno può darmi una mano???

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Innanzitutto grazie mille della spiegazione come sempre chiarissima e illuminante. Ho capito il significato di differenziabilità, ma continuo a non capire alcuni esercizi simili a quello che ho postato. Nell esercizio da me proposto, io per verificare se la funzione è differenziabile o meno in (0,1) uso la condizione sufficiente per la differenziabilità secondo la quale se le derivate parziali di f esistono in un intorno di un punto x* e sono continue, allora la funzione è differenziabile nel punto x*. Ora io ho calcolato le derivate parziali della funzione da me postata nel punto (0,1) ed esse a meno che non abbia sbagliato qualcosa dovrebbero esistere entrambi e dovrebbero valere:

[math] \frac{\delta f(0,1)}{\partial x)=0
\frac{\delta f(0,1)}{\partial y)=0 [/math]

Quindi secondo il mio ragionamento la funzione dovrebbe essere differenziabile in (0,1) e il piano tangente dovrebbe risultare :

[math] \pi=1 [/math]

ma invece ovviamente nn è così....dov è che sbaglio???

[ciampax]

Per prima cosa, bisogna analizzare la definizione di differenziabilità.

Sia

[math]F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math]

una funzione di

[math]n[/math]

variabili reali e sia

[math]\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n[/math]

un punto del dominio di

[math]F[/math]

. La funzione si dice differenziabile in tale punto se esiste una applicazione lineare affine

[math]L:\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}[/math]

[math]L(\mathbf(x))=\mathbf{a}\bullet\mathbf{x}+b[/math]

(qui

[math]\mathbf{a}\in\mathbb{R}^n,\ b\in\mathbb{R}[/math]

e

[math]\bullet[/math]

denota il prodotto scalare standard) tale che

[math]\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}\frac{F(\mathbf{x})-F(\mathbf{x}_0)-L(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)}{||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||}=0[/math]

(qui

[math]||\cdot||[/math]

denota la norma associata al prodotto scalare standard, i.e. la norma euclidea)

Cosa vuol dire, in soldoni, questa definizione? Per prima cosa, dato

[math]\rho>0[/math]

definiamo

[math]D_\rho(\mathbf{x}_0)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}\ :\ ||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||0[/math]

esiste un

[math]\rho>0[/math]

tale che, se

[math]\mathbf{x}\in D_\rho(\mathbf{x}_0)[/math]

allora

[math]\left|\frac{F(\mathbf{x})-F(\mathbf{x}_0)-L(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)}{||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||}\right|