Serietta..
Scusate vorrei sapere perfavore quale criterio in genere permette di capire quando una serie è indeterminata. Per esempio $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n(1+e^{-n})$. Per ora sono riuscito a vedere che non converge perchè la successione non è infinitesima, ma poi cosa altro posso dire? questa in particolare è indeterminata?
Grazie
Grazie
Risposte
Questa invece per esempio : $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/{n-\sqrt{n}}$ converge per il criterio di Leibniz.
Non c'è nessuno che mi risponde?? 
Ripensandoci su io e leonardo ci siamo convinti che la prima serie sia indeterminata perchè essa è definitivamente equivalente a : $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n$ che è indeterminata. Infatti li limite di $a_n$ per $n\to+\infty= lim_{n\to+\infty}(-1)^n$. Secondo voi è corretto?
La seconda serie e' giusta.
La prima non converge perche' non e' infinitesima. Non mi sembra che occorra dire altro.
Nel caso della tua serie e' facile comunque trovare due sottosuccessioni della successione delle somme parziali che convergono a risultati diversi prendendo le somme parziali di ordine pari e di ordine dispari. Quindi il limite delle somme parziali non esiste.
La prima non converge perche' non e' infinitesima. Non mi sembra che occorra dire altro.
Nel caso della tua serie e' facile comunque trovare due sottosuccessioni della successione delle somme parziali che convergono a risultati diversi prendendo le somme parziali di ordine pari e di ordine dispari. Quindi il limite delle somme parziali non esiste.
Quello che abbiamo concluso noi ti sembra sbagliato? In ogni caso il criterio generale è quello che dici tu delle sottosuccessioni, vero?
Per prima cosa sarebbe non male rivedere un poco di definzioni. Suppononendo noto il concetto di serie convergente, esaminiamo il caso di una serie non convergente. Una serie a termini positivi si dice divergente quando, detta $S_n$ la somma parziale dei primi n+1 termini e dato un numero reale N ad arbitrio purchè > 0, è possibile determinare un intero $n_0$ in modo che per ogno $n>n_0$ risulti $S_n > N$. Una serie a termini negativi è divergente se la corrispondente serie a termini positivi è divergente. In tutti gli altri casi, vale a dire quando la serie data non è convergente e non è divergente, la serie di dice indeterminata. Una serie indeterminata può essere a sua volta limitata quando la successione delle somme parziali, pur non avendo limite, per ogni valore di n è compresa in un certo intervallo finito, illimitata in caso contrario…
La serie inizialmente proposta…
$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n (1+e^(-n))$ (1)
… può essere scomposta in due termini, vale a dire…
$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n$ + $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n e^(-n)$ (2)
La prima serie ha per somme parziali –1,0,-1,0… per cui è indeterminata. La seconda serie è invece convergente e la sua somma vale…
$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n e^(-n)$ = $-(1/e) /(1+1/e)$ = $-1/(1+e)$ (3)
La serie data è pertanto indeterminata ma limitata in quanto la successione di sommeparziali è compresa tra $-(2+e)/(1+e)$ e $0$…
cordiali saluti
lupo grigio
La serie inizialmente proposta…
$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n (1+e^(-n))$ (1)
… può essere scomposta in due termini, vale a dire…
$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n$ + $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n e^(-n)$ (2)
La prima serie ha per somme parziali –1,0,-1,0… per cui è indeterminata. La seconda serie è invece convergente e la sua somma vale…
$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n e^(-n)$ = $-(1/e) /(1+1/e)$ = $-1/(1+e)$ (3)
La serie data è pertanto indeterminata ma limitata in quanto la successione di sommeparziali è compresa tra $-(2+e)/(1+e)$ e $0$…
cordiali saluti
lupo grigio
Grazie Lupo grigio.
per vedere se ho capito provo a studiare la convergenza di questa serie: $\sum_{n=1}^{+\infty}{n^n n!}/{(2n)!}$.
Applico il criterio del rapporto, dato che la serie è a termini positivi.
${a_{n+1}}/a_n={(n+1)^{(n+1)}(n+1)!(2n)!}/{(2n+2)!n^n n!}={n+1}/{2(2n+1)}(1+1/n)^n\rightarrow e/4<1\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}{n^n n!}/{(2n)!}<+\infty$. va bene?
per vedere se ho capito provo a studiare la convergenza di questa serie: $\sum_{n=1}^{+\infty}{n^n n!}/{(2n)!}$.
Applico il criterio del rapporto, dato che la serie è a termini positivi.
${a_{n+1}}/a_n={(n+1)^{(n+1)}(n+1)!(2n)!}/{(2n+2)!n^n n!}={n+1}/{2(2n+1)}(1+1/n)^n\rightarrow e/4<1\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}{n^n n!}/{(2n)!}<+\infty$. va bene?
Scusare se vi rompo ancora, ma avrei urgrnte bisognodi sapere come si fa a studiare queste due serie su cui ho trovato notevole difficoltà, dev'esser l'ora.. Boh
$\sum_{n=1}^{+\infty}({n^2+n+1}/{n^2+2n+2})^{n^3}$
$\sum_{n=1}^{+\infty}({n^3+n+1}/{n^3+2n+2})^{n^2}$
Per quello che sono riuscito a fare fin ora sembra che la prima serie sia convergente, mentre per la seconda sono un pò più perplesso, dato che Derive mi dice che è indeterminata, ma a me sembra che essa sia una serie a termini positivi, e quindi potrebbe esser solo convergente o divergente...
Aspetto con ansia vostri responsi, in settimana ho il compito
$\sum_{n=1}^{+\infty}({n^2+n+1}/{n^2+2n+2})^{n^3}$
$\sum_{n=1}^{+\infty}({n^3+n+1}/{n^3+2n+2})^{n^2}$
Per quello che sono riuscito a fare fin ora sembra che la prima serie sia convergente, mentre per la seconda sono un pò più perplesso, dato che Derive mi dice che è indeterminata, ma a me sembra che essa sia una serie a termini positivi, e quindi potrebbe esser solo convergente o divergente...
Aspetto con ansia vostri responsi, in settimana ho il compito
Per la seconda:
$ (n^3+n+1)/(n^3+2n+2) < (n^3+n+1)/(2(n^3+n+1)) = 1/2 $
Quindi:
$ \sum_{n=1}^{+\infty}({n^3+n+1}/{n^3+2n+2})^{n^2} < \sum_{n=1}^{+oo} (1/2)^(n^2) < \sum_{n=1}^{+oo} (1/2)^n $
L'ultima somma converge perche' e' geometrica.
Quindi la prima converge per il criterio di Wiernstrass. (del confronto)
$ (n^3+n+1)/(n^3+2n+2) < (n^3+n+1)/(2(n^3+n+1)) = 1/2 $
Quindi:
$ \sum_{n=1}^{+\infty}({n^3+n+1}/{n^3+2n+2})^{n^2} < \sum_{n=1}^{+oo} (1/2)^(n^2) < \sum_{n=1}^{+oo} (1/2)^n $
L'ultima somma converge perche' e' geometrica.
Quindi la prima converge per il criterio di Wiernstrass. (del confronto)
Ah era così facile..?? 
E' solo questione di esperienza: piu' che l'analisi ho imparato a entrare nella mente (perversa) di chi inventa gli esercizi!
Allora anche la serie con$n^2$ all'esponente è convergente per lo stesso motivo. Pensa che derive me la considerava indeterminata...
No! Che cappellata che ho fatto!!!! 
E' tutto sbagliato quello che ho scritto!
Avevi ragione a sospettare della velocita' con cui avevo risolto il pb. evidentemente, dopo tutte quelle ore sui libri, avevo il cervello fritto....
In pratica ho maggiorato $1$ con $1/2$!!!
Stasera, se nessun altro l'avra' fatto, vedo di sistemare questo esercizio (facendo i conti prima su carta e poi postando e non il contrario come di solito avviene...)
E' tutto sbagliato quello che ho scritto!
Avevi ragione a sospettare della velocita' con cui avevo risolto il pb. evidentemente, dopo tutte quelle ore sui libri, avevo il cervello fritto....
In pratica ho maggiorato $1$ con $1/2$!!!
Stasera, se nessun altro l'avra' fatto, vedo di sistemare questo esercizio (facendo i conti prima su carta e poi postando e non il contrario come di solito avviene...)
Grazie David_e. Ho un risultato che non mi torna..
Devo dire quali sono i valori di $\alpha\in\mathbb{R}$ tali che $\sum_{n=1}^{+\infty}(n^2-n^2cos(n^\alpha))$ risulta convergente.
Allora io ho fatto così:
$\sum_{n=1}^{+\infty}(n^2(1-cos(n^\alpha)))\approx \sum_{n=1}^{+\infty}(n^2(n^{2\alpha}/2))=\sum_{n=1}^{+\infty}(n^{2(1+\alpha)}/2)$
Affinchè la serie converga l'esponente deve esser strettamente minore di uno, quindi : $2(1+\alpha)<-1=>\alpha<-3/2$
Mentre il mio libro dice $\alpha<-1$....
Devo dire quali sono i valori di $\alpha\in\mathbb{R}$ tali che $\sum_{n=1}^{+\infty}(n^2-n^2cos(n^\alpha))$ risulta convergente.
Allora io ho fatto così:
$\sum_{n=1}^{+\infty}(n^2(1-cos(n^\alpha)))\approx \sum_{n=1}^{+\infty}(n^2(n^{2\alpha}/2))=\sum_{n=1}^{+\infty}(n^{2(1+\alpha)}/2)$
Affinchè la serie converga l'esponente deve esser strettamente minore di uno, quindi : $2(1+\alpha)<-1=>\alpha<-3/2$
Mentre il mio libro dice $\alpha<-1$....
No guarda che quello di prima nn lo ho ancora risolto!
L'unica cosa che sono riuscito a vedere e' che col Matlab risulta essere una serie divergente visto che maggiora la serie geometrica.
Sono anche riuscito, sempre col Matlab, a dimostrare in parte questa maggiorazione considerando le successioni da sommare come restrizioni a $NN$ di funzioni su $RR$ e calcolandone le derivate, ma non e' un metodo applicabile a mano visto che vengono fuori dei formuloni pazzeschi!
Ho provato a smanettare un po' usando il forum come lavagna (a un certo punto ho anche postato (chiedo venia per l'eventale disagio causato) per sbaglio invece di fare preview ) visto che non ho fogli piu' grandi di un fazzolettino vicino al PC su cui fare i conti, ma per ora niente....
L'unica cosa che sono riuscito a vedere e' che col Matlab risulta essere una serie divergente visto che maggiora la serie geometrica.
Sono anche riuscito, sempre col Matlab, a dimostrare in parte questa maggiorazione considerando le successioni da sommare come restrizioni a $NN$ di funzioni su $RR$ e calcolandone le derivate, ma non e' un metodo applicabile a mano visto che vengono fuori dei formuloni pazzeschi!
Ho provato a smanettare un po' usando il forum come lavagna (a un certo punto ho anche postato (chiedo venia per l'eventale disagio causato) per sbaglio invece di fare preview
) visto che non ho fogli piu' grandi di un fazzolettino vicino al PC su cui fare i conti, ma per ora niente....
Per quanto riguarda invece l'ultima serie postata? 
Boh sinceramente non riesco a vedere l'errore...
Per quello vecchio forse ci siamo:
$ (n^3+n+1)/(n^3+2n+2) \approx (n^2 (n+1))/(n^2 (n+2) ) = (n+1)/(n+2) $
In oltre:
$ (n+1)/(n+2) = 1 - 1/(n+2) $ (divisione fra polinomi)
Ed:
$ (1 - 1/(n+2))^(n^2) = \sum_{k=0}^{+oo} ( (n^2),(k) ) ( - 1/(n+2) )^k > \sum_{k=0}^{+oo} ( - 1/(n+2) )^k = (n+3)/(n+2) > 1/n $
Ho usato il binomio di Newton e la somma Geometrica.
Da cui:
$ \sum_{n=1}^{+\infty}({n^3+n+1}/{n^3+2n+2})^{n^2} \approx \geq \sum_{n=1}^{+oo} 1/n $
Questa volta ho riletto meglio i conti, ma e' meglio non fidarsi! Quindi ti consiglio di controllare...
PS: Scusa il ritardo nella risposta...
Per quello vecchio forse ci siamo:
$ (n^3+n+1)/(n^3+2n+2) \approx (n^2 (n+1))/(n^2 (n+2) ) = (n+1)/(n+2) $
In oltre:
$ (n+1)/(n+2) = 1 - 1/(n+2) $ (divisione fra polinomi)
Ed:
$ (1 - 1/(n+2))^(n^2) = \sum_{k=0}^{+oo} ( (n^2),(k) ) ( - 1/(n+2) )^k > \sum_{k=0}^{+oo} ( - 1/(n+2) )^k = (n+3)/(n+2) > 1/n $
Ho usato il binomio di Newton e la somma Geometrica.
Da cui:
$ \sum_{n=1}^{+\infty}({n^3+n+1}/{n^3+2n+2})^{n^2} \approx \geq \sum_{n=1}^{+oo} 1/n $
Questa volta ho riletto meglio i conti, ma e' meglio non fidarsi! Quindi ti consiglio di controllare...
PS: Scusa il ritardo nella risposta...
Ho risolto (penso) l'altra serie: $\sum_{n=1}^{+\infty}({n^2+n+1}/{n^2+2n+2})^{n^3}$
Ho applicato il criterio della radice n-esima, quindi la successione diventa: $({n^2+n+1}/{n^2+2n+2})^{n^2}$
A questo punto mi accorgo che ciò è molto simile ad una successione notevole...
$root[n]{a_n}=[(1-{n}/{n^2+2n+1})^{-{n^2+2n+1}/n}]^{-n/{n^2+2n+1}n^2}=e^{(-n^3/{n^2+2n+1})}=>\lim_{n\to+\infty}root[n]{a_n}=0<1=>$converge.
Ho applicato il criterio della radice n-esima, quindi la successione diventa: $({n^2+n+1}/{n^2+2n+2})^{n^2}$
A questo punto mi accorgo che ciò è molto simile ad una successione notevole...
$root[n]{a_n}=[(1-{n}/{n^2+2n+1})^{-{n^2+2n+1}/n}]^{-n/{n^2+2n+1}n^2}=e^{(-n^3/{n^2+2n+1})}=>\lim_{n\to+\infty}root[n]{a_n}=0<1=>$converge.
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