Serie: sum_{j=1}^infty(a_j) Y:={a_j}=... converge?boh!chissa
se alla successione $a_n=1/n$ associo l'insieme $X:={a_n=1/n : n in NN}$, poi da X tolgo infiniti termini (pezzi dell'insieme appartenenti a X) con una data legge N->N che chiamo $a_k$ e costruisco l'insieme Y:=X\{$a_n in X$ t.c. n=a_k}={a_j}$.
la serie $sum_{j=1}^infty(a_j)$ converge o diverge? in quali casi eventualmente diverge e in quali converge?
thanks very much
la serie $sum_{j=1}^infty(a_j)$ converge o diverge? in quali casi eventualmente diverge e in quali converge?
thanks very much
Risposte
$a_n = 1/n$ ; la legge $a_k$ la chiamo $n_k in N$ ; $a_{n_{k}} in N$.
$sum_{j=1}^infty \ 1/a_j := \ [sum_{n=1}^infty \ 1/a_n] - [sum_{k=1}^infty \ 1/a_{n_{k}}] =[sum_{n=1}^infty \ n] -[sum_{k=1}^infty \ n_k] =$ (puro scambio di simboli n=k) $[sum_{k=1}^infty \ k] -[sum_{k=1}^infty \ n_k] < infty iff EE k_0 in N : AA k>= k_0 => n_k=k $
è corretto?
$sum_{j=1}^infty \ 1/a_j := \ [sum_{n=1}^infty \ 1/a_n] - [sum_{k=1}^infty \ 1/a_{n_{k}}] =[sum_{n=1}^infty \ n] -[sum_{k=1}^infty \ n_k] =$ (puro scambio di simboli n=k) $[sum_{k=1}^infty \ k] -[sum_{k=1}^infty \ n_k] < infty iff EE k_0 in N : AA k>= k_0 => n_k=k $
è corretto?
io ho provato cosi:
posto $f(k):=a_k$ allora $a_j=1/j-1/f(j)=(f(j)-j)/(j*f(j))$ quindi perchè converga la serie è sufficiente che:
lim $j*(f(j)-j)/(j*f(j))=$ lim $(f(j)-j)/f(j)= 1-$ lim $j/f(j)$=0. quindi basta che la f(j) sia una funzione N->N asintotica a j.
j->inf
potreste farmi degli esempi di funzioni di tal tipo?
posto $f(k):=a_k$ allora $a_j=1/j-1/f(j)=(f(j)-j)/(j*f(j))$ quindi perchè converga la serie è sufficiente che:
lim $j*(f(j)-j)/(j*f(j))=$ lim $(f(j)-j)/f(j)= 1-$ lim $j/f(j)$=0. quindi basta che la f(j) sia una funzione N->N asintotica a j.
j->inf
potreste farmi degli esempi di funzioni di tal tipo?
"QuantumGravity":
$a_n = 1/n$ ; la legge $a_k$ la chiamo $n_k in N$ ; $a_{n_{k}} in N$.
$sum_{j=1}^infty \ 1/a_j := \ [sum_{n=1}^infty \ 1/a_n] - [sum_{k=1}^infty \ 1/a_{n_{k}}] =[sum_{n=1}^infty \ n] -[sum_{k=1}^infty \ n_k] =$ (puro scambio di simboli n=k) $[sum_{k=1}^infty \ k] -[sum_{k=1}^infty \ n_k] < infty iff EE k_0 in N : AA k>= k_0 => n_k=k $
è corretto?
perchè al secondo passaggio hai scambiato $1/a_n$ con n?
Essendo $a_n=1/n$, allora $1/(a_n)=1/(1/n)=n$. Credo che questo sia il ragionamento!
Ciao!
Ciao!
$ a_n = 1/n => 1/[a_n] = 1/[1/n] = n $ capito?
si, è che avevo sbagliato a scrivere il testo ora correggo subito, mi dispiace.
ciao!
ciao!
"gaussz":
potreste farmi degli esempi di funzioni di tal tipo?
Le funzioni $f(j)$ asintodiche che stai cercando forse coincidono con la funzione $n_k$ che ho già scritto.
Infatti {$f(j)$ tende asintodicamente a $j$ (quando $j$ tende a $+ infty$)} $iff$
{$AA r>0 \ \ EE \ j_0 in N : \ \ |f(j)-j| < r \ \ \ AA \ j > j_0$}.
Se prendo $0
Quindi abbiamo che $f(j)=j \ \ \ AA j>j_0$
Dato che la mia notazione era : $j=k\ \ , f(j)=n_k \ \ , j_0=k_0$, abbiamo ancora $n_k=k$ con $k>k_0$
($f(j)=j$ con $j>j_0$)
A parte tutto questo, non ho capito perché dici che è SUFFICIENTE che
$lim_{n->+ infty} \ \ j. [f(j)-j]/[j*f(j)] = 0$.
Inoltre hai detto che cambiavi la traccia, io la leggo ancora come prima. Forse mi sfugge qualcosa?
prima avevo scritto $1/a_j$ ora solo $a_j$...
"gaussz":
se alla successione $a_n=1/n$ associo l'insieme $X:={a_n=1/n : n in NN}$, poi da X tolgo infiniti termini con una data legge N->N che chiamo $a_k$ e costruisco l'insieme Y:=X\{$a_n in X$ t.c. n=a_k}={a_j}$. [...] la serie $sum_{j=1}^infty(a_j)$ converge o diverge? in quali casi eventualmente diverge e in quali converge?
E che risposta mai ti aspetteresti?!
Ma dico... Ti pare verosimile che, essendo $f: \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ una funzione iniettiva, si possa fornire - almeno in generale! - una condizione di qualsiasi specie atta a garantire la convergenza della serie $\sum_{n=1}^\infty 1/{f(n)}$?! Personalmente lo trovo superbo, ardito ed improbabile, a meno di non specializzare enormemente la natura di $f$... Per esempio, se $f$ fosse la funzione che ad ogni $n \in \mathbb{Z}^+$ fa corrispondere il più piccolo primo di $\mathbb{N}$ ch'è pure $\equiv 1$ $mod$ $n$, *TU* cosa mai sapresti dirmi della convergenza della serie $\sum_{n=1}^\infty 1/{(f(n))^k}$, al variare di $k \in \mathbb{R}$?!
non molto, visto che ho aperto il topic perchè mi sono posto questa domanda a cui non sapevo rispondere.
penso che se la f(n) sia asintotica a n allora ci sia convergenza per ciò che ho scritto qui sopra.
"gaussz":
io ho provato cosi:
posto $f(k):=a_k$ allora $a_j=1/j-1/f(j)=(f(j)-j)/(j*f(j))$ quindi perchè converga la serie è sufficiente che:
lim $j*(f(j)-j)/(j*f(j))=$ lim $(f(j)-j)/f(j)= 1-$ lim $j/f(j)$=0. quindi basta che la f(j) sia una funzione N->N asintotica a j.
j->inf
potreste farmi degli esempi di funzioni di tal tipo?
penso che se la f(n) sia asintotica a n allora ci sia convergenza per ciò che ho scritto qui sopra.
"gaussz":
[...] penso che se la f(n) sia asintotica a n allora ci sia convergenza per ciò che ho scritto qui sopra.
...se $f(n) ~ n$, per $n \to \infty$, in base al criterio del confronto asintotico, si ha che la serie $\sum_{n=1}^\infty 1/{f(n)}$ possiede lo stesso carattere della serie $\sum_{n=1}^\infty 1/n$, e perciò è banalmente divergente. Il resto son pippe mentali...
"gaussz":
io ho provato cosi:
posto $f(k):=a_k$ allora $a_j=1/j-1/f(j)=(f(j)-j)/(j*f(j))$ quindi perchè converga la serie è sufficiente che:
lim $j*(f(j)-j)/(j*f(j))=$ lim $(f(j)-j)/f(j)= 1-$ lim $j/f(j)$=0. quindi basta che la f(j) sia una funzione N->N asintotica a j.
j->inf
potreste farmi degli esempi di funzioni di tal tipo?
penso che se la f(n) sia asintotica a n allora ci sia convergenza per ciò che ho scritto qui sopra.
Mi sembra di aver già dimostrato che esiste un solo tipo di funzione $f(j)$ a valori naturali asintodica a $j$ (quando $j$ tende a $+ infty$)
Repeat:
[$f(j)$ tende asintodicamente a $j$ (quando $j$ tende a $+ infty$)] $iff$
[$AA r>0 \ \ EE \ j_0 in N : \ \ |f(j)-j| < r \ \ \ AA \ j > j_0$].
Se prendo $0
Quindi [$f(j)$ tende asintodicamente a $j$ ] $iff$ [$f(j)=j \ \ \ AA j>j_0$]
"QuantumGravity":
[...] Mi sembra di aver già dimostrato che esiste un solo tipo di funzione $f(j)$ a valori naturali asintodica a $j$ (quando $j$ tende a $+ infty$)
Per cortesia, non diciamo scempiaggini, spacciandole - per giunta! - per onestissime verità...
"QuantumGravity":
[$f(j)$ tende asintodicamente a $j$ (quando $j$ tende a $+ infty$)] $iff$
[$AA r>0 \ \ EE \ j_0 in N : \ \ |f(j)-j| < r \ \ \ AA \ j > j_0$].
False! Se $f, g: \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ sono funzioni, si dice che $f$ è asintotica a $g$, per $n \to \infty$, e si scrive $f$ ~ $g$, se $\lim_{n \to \infty} {f(n)}/{g(n)} = 1$. E' esattamente lo stesso concetto che sta dietro la definizione degli asintoti orizzontali/obliqui di una funzione! Così ad esempio $n + \ln(n)$ ~ $n$.
"HiTToLo":
Per cortesia, non diciamo scempiaggini, spacciandole - per giunta! - per onestissime verità...
Hai ragione Hittolo.... ricordavo male la definizione. Ho controllato sul libro e concorda con te.
"HiTToLo":
[quote="gaussz"][...] penso che se la f(n) sia asintotica a n allora ci sia convergenza per ciò che ho scritto qui sopra.
...se $f(n) ~ n$, per $n \to \infty$, in base al criterio del confronto asintotico, si ha che la serie $\sum_{n=1}^\infty 1/{f(n)}$ possiede lo stesso carattere della serie $\sum_{n=1}^\infty 1/n$, e perciò è banalmente divergente. Il resto son pippe mentali...[/quote]
HiTToLo prova a rileggere la traccia f(n) non è quella che intendi tu ma la legge con cui si tolgono pezzi all'insieme X.
"gaussz":
[...] HiTToLo prova a rileggere la traccia f(n) non è quella che intendi tu ma la legge con cui si tolgono pezzi all'insieme X.
"Togliere pezzi da un insieme" non è nulla che mi suoni neppure vagamente matematico...
senti, a me non me ne frega niente che a te non sembri matematico, la traccia è chiara.
Gauss, Hittolo, voi due mi fate morire dalle risate. Su ogni forum di questo sito dove vado, vedo voi due che vi azzuffate alla grande.
bè vedi QuantumGravity, è che a me non piacciono certi comportamenti che non giovano a nessuno, e che quindi mi fanno veramente incavolare per non dire altre parole come questa !%%£$£"%&£°ç£!!.
"gaussz":
bè vedi QuantumGravity, è che a me non piacciono certi comportamenti che non giovano a nessuno, e che quindi mi fanno veramente incavolare per non dire altre parole come questa !%%£$£"%&£°ç£!!.
Certo, certo...
"gaussz":
senti, a me non me ne frega niente che a te non sembri matematico, la traccia è chiara.
...ma non c'è dubbio: chiara come la notte le acque del mar Nero.
"gaussz":
[...] HiTToLo prova a rileggere la traccia f(n) non è quella che intendi tu ma la legge con cui si tolgono pezzi all'insieme X.
L'ho riletta, e penso di aver interpretato fin troppo bene il tuo parlare oscuro...
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