Serie, successioni nozioni
Buon giorno 
,
Non ho ben capito, dal punto di vista concettuale, la differenza tra serie numeriche, successioni, serie di funzioni e serie di potenze.
! Non riesco a spiegarne le differenze ...
Grazie in anticipo
,Non ho ben capito, dal punto di vista concettuale, la differenza tra serie numeriche, successioni, serie di funzioni e serie di potenze.
! Non riesco a spiegarne le differenze ... Grazie in anticipo
Risposte
Ti faccio degli esempi:
-Una successione $a_n$ è una successione di numeri: ad esempio $a_1=1$, $a_2=2$,..., $a_n=n$.
-Da una successione come questa, puoi ricavare la sua serie, che è un'altra successione $S_n$ (detta successione delle somme parziali di $a_n$) definita come $S_1=a_1$, $S_2=a_1+a_2$, $S_3=a_1+a_2+a_3$, $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$. Nell'esempio di prima si ha che $S_1=1$, $S_2=1+2=3$, $S_3=1+2+3=6$,...,$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$.
-Una serie di funzioni la puoi vedere come una serie numerica in cui compare un "parametro x": come nel caso numerico, si parte da una successione (in questo caso però di funzioni) $f_n$, ad esempio $f_1(x)=\sin (x)$, $f_2(x)=\sin(2x)$, $f_3(x)=\sin(3x)$,...,$f_n(x)=\sin(nx)$ e poi si calcola la sua serie, che è, come nel caso numerico, la successione delle somme parziali: $S_1(x)=f_1(x)=\sin(x)$, $S_2(x)=f_1(x)+f_2(x)=\sin(x)+\sin(2x)$, $S_3(x)=f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)=\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)$,...,$S_n(x)=\sum_{k=1}^n f_n(x)=\sum_{k=1}^n\sin(nx)$.
Infine le serie di potenze sono delle serie di funzioni particolari; infatti un questo caso la successione di funzioni è data da $f_n(x)=a_n(x-x_0)^n$, ove $x_0$ è un punto fissato e $a_n$ è una successione di quelle che ti ho descritto all'inizio. Dato che in tutti i teoremi sulle serie di potenze non influisce il punto $x_0$, di solito si studiano le serie di potenze del tipo $f_n=a_nx^n$, traslandole successivamente se ce ne fosse bisogno.
-Una successione $a_n$ è una successione di numeri: ad esempio $a_1=1$, $a_2=2$,..., $a_n=n$.
-Da una successione come questa, puoi ricavare la sua serie, che è un'altra successione $S_n$ (detta successione delle somme parziali di $a_n$) definita come $S_1=a_1$, $S_2=a_1+a_2$, $S_3=a_1+a_2+a_3$, $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$. Nell'esempio di prima si ha che $S_1=1$, $S_2=1+2=3$, $S_3=1+2+3=6$,...,$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$.
-Una serie di funzioni la puoi vedere come una serie numerica in cui compare un "parametro x": come nel caso numerico, si parte da una successione (in questo caso però di funzioni) $f_n$, ad esempio $f_1(x)=\sin (x)$, $f_2(x)=\sin(2x)$, $f_3(x)=\sin(3x)$,...,$f_n(x)=\sin(nx)$ e poi si calcola la sua serie, che è, come nel caso numerico, la successione delle somme parziali: $S_1(x)=f_1(x)=\sin(x)$, $S_2(x)=f_1(x)+f_2(x)=\sin(x)+\sin(2x)$, $S_3(x)=f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)=\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)$,...,$S_n(x)=\sum_{k=1}^n f_n(x)=\sum_{k=1}^n\sin(nx)$.
Infine le serie di potenze sono delle serie di funzioni particolari; infatti un questo caso la successione di funzioni è data da $f_n(x)=a_n(x-x_0)^n$, ove $x_0$ è un punto fissato e $a_n$ è una successione di quelle che ti ho descritto all'inizio. Dato che in tutti i teoremi sulle serie di potenze non influisce il punto $x_0$, di solito si studiano le serie di potenze del tipo $f_n=a_nx^n$, traslandole successivamente se ce ne fosse bisogno.
quindi, per risolvere gli esercizi sulle serie di funzioni devo comportarmi come se avessi davanti una serie numerica. Con le stesse nozioni posso andare avanti, in pratica nella serie geometrica di funzione....la ragione non e' più $q$ bensì $x$... ci siamo più o meno?
"Frasandro":
Con le stesse nozioni posso andare avanti, in pratica nella serie geometrica di funzione....la ragione non e' più $q$ bensì $x$... ci siamo più o meno?
Se per serie geometrica di funzione intendi
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}[f(x)]^n
\]
allora sì. Ovviamente hai convergenza solo nei punti in cui $|f(x)|<1$.
Scusate l'intrusione, volevo solo sottolineare (anche se forse era sottointeso nel discorso di billyballo) che la serie non e' una successione ma piuttosto il limite di una successione.
Uhm... in realtà credo che quello si chiami somma della serie. Ma non ne sono sicuro...
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