Serie riconducibile ad una serie di potenze

[*Vanna*11]

Ciao a tutti vi volevo proporre una serie sulla quale ho diversi dubbi $\sum_{n=1}^\infty\(logn/n)^(n)* x^(n^2)$
Il fatto che ho $x^(n^2)$ mi fa capire che non è una serie di potenze.Tuttavia non riesco a trovare nessuna sostituzione che mi permette di ricondurmi a questa famosa serie di potenze se non quella di imporre $n^2=K$ e,dunque, andare a modificare completamente il termine generale.La mia domanda era:E' legale questa sostituzione su scritta????Altrimenti potreste indicarmi il metodo più semplice per risolvere questa serie??
P.S. Ho l'esame di analisi a giorni e sono preoccupata per questa "serie" di dubbi per questo vi esorto ad aiutarmi

[Rigel1]

Prova a scrivere esplicitamente i primi 3 o 4 termini della serie (sostituendo \(n=1,2,3,4,...\)), e vedi cosa viene.

[*Vanna*11]

Mi trovo davanti a una serie geometrica senza elementi dispari,quindi,posso dire che l'insieme di convergenza è $(-1,1)$ senza calcolare il limite attraverso il criterio del rapporto o della radice? Se è così ,allora, dovrei verificare solo cosa succede negli estremi??

[Rigel1]

No. Si tratta di una serie di potenze \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k x^k\) con molti coefficienti nulli; sono non nulli solo quelli con indice che è un quadrato perfetto, cioè tali che \(k=n^2\), vale a dire \(a_1, a_4, a_9, a_{16},...\), mentre \(a_2, a_3, a_5, a_6, a_7, a_8, a_{10}, ...\) sono nulli.
Puoi usare il criterio della radice (o, equivalentemente, la formula per il calcolo del raggio di convergenza) nella formulazione col \(\limsup\), ricordando quanto appena detto:
\[
a_k =
\begin{cases}
\left(\frac{\log\sqrt{k}}{\sqrt{k}}\right)^{\sqrt{k}} & \text{se}\ k \ \text{è un quadrato perfetto},\\
0, & \text{altrimenti}.
\end{cases}
\]

[darinter]

"Rigel":No. Si tratta di una serie di potenze \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k x^k\) con molti coefficienti nulli; sono non nulli solo quelli con indice che è un quadrato perfetto, cioè tali che \(k=n^2\), vale a dire \(a_1, a_4, a_9, a_{16},...\), mentre \(a_2, a_3, a_5, a_6, a_7, a_8, a_{10}, ...\) sono nulli.
Puoi usare il criterio della radice (o, equivalentemente, la formula per il calcolo del raggio di convergenza) nella formulazione col \(\limsup\), ricordando quanto appena detto:
\[
a_k =
\begin{cases}
\left(\frac{\log\sqrt{k}}{\sqrt{k}}\right)^{\sqrt{k}} & \text{se}\ k \ \text{è un quadrato perfetto},\\
0, & \text{altrimenti}.
\end{cases}
\]

Scusate se mi intrometto, ma non mi trovo sul fatto che si annullino, ad es. $(log (sqrt(2))/sqrt(2))^sqrt(2)=0.136$