Serie: Prodotto alla Cauchy
Salve a tutti,
Qualcuno mi sa dire cosa sarebbe il cosiddetto Prodotto "alla Cauchy" riguardante le serie? Purtroppo non ho potuto assistere alla lezione che lo riguardava e in molti libri non l'ho trovato (non so poi se è chiamato in altre fonti con un altro nome).
Grazie
Qualcuno mi sa dire cosa sarebbe il cosiddetto Prodotto "alla Cauchy" riguardante le serie? Purtroppo non ho potuto assistere alla lezione che lo riguardava e in molti libri non l'ho trovato (non so poi se è chiamato in altre fonti con un altro nome).
Grazie
Risposte
grazie e buone feste
Se date le serie [tex]\sum a_n=s[/tex] e [tex]\sum b_n=t[/tex] sia il loro prodotto la serie [tex]\sum c_n[/tex], se una delle due converge assolutamente allora [tex]\sum c_n=(\sum a_n)*(\sum b_n)=s*t[/tex] , giusto?
Allora mi domando, la serie [tex]\sum \frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2[/tex] è assolutamente convergente in quanto [tex]\sum |\frac{1}{2^n}|=2[/tex] ; così anche come la serie [tex]\sum \frac{1}{3^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}[/tex] hanno come prodotto una serie [tex]\sum c_n=2*\frac{3}{2}=3[/tex] ??
Allora mi domando, la serie [tex]\sum \frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2[/tex] è assolutamente convergente in quanto [tex]\sum |\frac{1}{2^n}|=2[/tex] ; così anche come la serie [tex]\sum \frac{1}{3^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}[/tex] hanno come prodotto una serie [tex]\sum c_n=2*\frac{3}{2}=3[/tex] ??
Sì in base al prodotto di Cauchy la somma della serie è 3. Come scriveresti [tex]c_n[/tex]?
@Orlok: Puoi consultare il classico di Rudin Principi di analisi matematica, nel terzo capitolo c'è un paragrafo (il 13°) dedicato al prodotto secondo Cauchy molto breve ma anche molto completo.
"Mathematico":
Sì in base al prodotto di Cauchy la somma della serie è 3.
Ma è sufficiente che siano entrambe assolutamente convergenti o ne basta una? E se una delle due è divergente?
Per quanto riguarda come scriverei la [tex]\sum c_n[/tex] :
Certamente non potrei scrivere [tex]\sum \frac{1}{2^n}*\frac{1}{3^n}[/tex] ( che sarebbe [tex]\sum \frac{1}{6^n}=6/5[/tex] )
Credo che dovrei scrivere (correggetemi se sbaglio) [tex]c_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} * \frac{1}{3^{k-n}}[/tex]
"Orlok":
[quote="Mathematico"]Sì in base al prodotto di Cauchy la somma della serie è 3.
Ma è sufficiente che siano entrambe assolutamente convergenti o ne basta una? E se una delle due è divergente?
Per quanto riguarda come scriverei la [tex]\sum c_n[/tex] :
Certamente non potrei scrivere [tex]\sum \frac{1}{2^n}*\frac{1}{3^n}[/tex] ( che sarebbe [tex]\sum \frac{1}{6^n}=6/5[/tex] )
Credo che dovrei scrivere (correggetemi se sbaglio) [tex]c_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} * \frac{1}{3^{k-n}}[/tex][/quote]
Sul Bramanti Paganini Salsa (che riporta il teorema sotto il nome di Mertens ) le serie devono essere entrambe convergenti semplicemente, almeno una delle due deve essere assolutamente convergente, sotto queste ipotesi la serie prodotto converge. Se vuoi ti riporto il teorema per bene
.Per quanto riguarda $c_n$, va bene
"Mathematico":
Credo che dovrei scrivere (correggetemi se sbaglio) [tex]c_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} * \frac{1}{3^{k-n}}[/tex]
Per quanto riguarda $c_n$, va bene
Ah ok, no perchè avevo il dubbio che il 3 al denominatore fosse elevato a n-k e non a k-n.
Quindi
C.N: le due serie convergenti
C.N.S.: almeno una lo deve essere assolutamente
giusto?
Si se puoi postarmi il teorema mi faresti un favore perchè il bramanti-pagani-salsa non lo trovo u_u
Ok:
Il Pagani salsa recita:
Ti faccio notare che sono entrambe condizioni necessarie
Per quanto riguarda $c_n$ :
[tex]c_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}[/tex], hai commesso un errore con gli indici, ed io non ho posto attenzione, scusami
[edit]: corretto un indice
Il Pagani salsa recita:
Siano [tex]\sum a_n[/tex] e [tex]\sum b_n[/tex] due serie convergenti, rispettivamente ad [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], sia inoltre una delle due, diciamo [tex]\sum a_n[/tex], assolutamente convergente. Allora la serie prodotto [tex]\sum c_n[/tex] è convergente con somma [tex]C=AB[/tex].
Ti faccio notare che sono entrambe condizioni necessarie
Per quanto riguarda $c_n$ :
[tex]c_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}[/tex], hai commesso un errore con gli indici, ed io non ho posto attenzione, scusami
[edit]: corretto un indice
Grazie 1000 ^^
e quindi per l'esempio precedente la serie [tex]\sum c_n[/tex] come deve essere scritta?
Ma a parte questo caso in cui viene rispettato il teorema, negli altri casi non risulta complicato stabilire il carattere della serie [tex]\sum c_n[/tex]visto che ci sono di mezzo due indici (k ed n) anzichè uno solo (tipo per applicare criterio della radice, ecc.) ?
e quindi per l'esempio precedente la serie [tex]\sum c_n[/tex] come deve essere scritta?
Ma a parte questo caso in cui viene rispettato il teorema, negli altri casi non risulta complicato stabilire il carattere della serie [tex]\sum c_n[/tex]visto che ci sono di mezzo due indici (k ed n) anzichè uno solo (tipo per applicare criterio della radice, ecc.) ?
Nel nostro caso [tex]c_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} \frac{1}{3^{n-k}} = \sum_{k=0}^n \left(\frac{3}{2}\right)^k \frac{1}{3^n}[/tex]. Poichè il fattore [tex]\frac{1}{3^n}[/tex] non dipende dall'indice di sommatoria allora:
[tex]c_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} \frac{1}{3^{n-k}} = \frac{1}{3^n}\sum_{k=0}^n\left (\frac{3}{2}\right)^k = \frac{1}{3^n} \frac{(3^{n+1}-2^{n+1})}{2^n}[/tex]
Dunque:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n} \frac{(3^{n+1}-2^{n+1})}{2^n}[/tex] come puoi ben vedere la serie dei $c_n$ dipende dall'unico parametro $n$.
(Ricontrolla tutto, sono in fase dormiveglia, soprattutto mi auguro di aver compreso la domanda
)
[Edit]: Ti lascio un esercizio
: Determinare la somma della serie [tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n} \frac{(3^{n+1}-2^{n+1})}{2^n}[/tex] senza utilizzare il teorema
[tex]c_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} \frac{1}{3^{n-k}} = \frac{1}{3^n}\sum_{k=0}^n\left (\frac{3}{2}\right)^k = \frac{1}{3^n} \frac{(3^{n+1}-2^{n+1})}{2^n}[/tex]
Dunque:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n} \frac{(3^{n+1}-2^{n+1})}{2^n}[/tex] come puoi ben vedere la serie dei $c_n$ dipende dall'unico parametro $n$.
(Ricontrolla tutto, sono in fase dormiveglia, soprattutto mi auguro di aver compreso la domanda
)[Edit]: Ti lascio un esercizio
: Determinare la somma della serie [tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n} \frac{(3^{n+1}-2^{n+1})}{2^n}[/tex] senza utilizzare il teorema
Allora..vediamo...
[tex]\sum_{k=1}^n (\frac{3}{2})^k[/tex] è una serie geometrica di ragione [tex]\frac{3}{2}[/tex] e per tanto si può scrivere come la successione [tex]\frac{1-(\frac{3}{2})^{n+1}}{1-\frac{3}{2}}[/tex]
Allora [tex]\sum c_n=\frac{1-(\frac{3}{2})^{n+1}}{3^n}*\frac{1}{1-(\frac{3}{2})}[/tex]
fin quì giusto?
[tex]\sum_{k=1}^n (\frac{3}{2})^k[/tex] è una serie geometrica di ragione [tex]\frac{3}{2}[/tex] e per tanto si può scrivere come la successione [tex]\frac{1-(\frac{3}{2})^{n+1}}{1-\frac{3}{2}}[/tex]
Allora [tex]\sum c_n=\frac{1-(\frac{3}{2})^{n+1}}{3^n}*\frac{1}{1-(\frac{3}{2})}[/tex]
fin quì giusto?
Mmm, non mi è chiaro cosa stai facendo 
Non riesco a capire in che modo [tex]\sum_{k=1}^n (\frac{3}{2})^k=\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{2^n}[/tex]
"Orlok":
Non riesco a capire in che modo [tex]\sum_{k=1}^n (\frac{3}{2})^k=\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{2^n}[/tex]
Ah ok, allora ricorda innanzitutto che:
[tex]\displaystyle\sum_{k=0}^n x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}[/tex] questa vale per ogni [tex]x\ne 1[/tex].
Sia [tex]x= \frac{3}{2}[/tex] allora [tex]\displaystyle\sum_{k=0}^n \left(\frac{3}{2}\right)^k = \frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{3}{2}\right)} = \frac{\frac{2^{n+1} - 3^{n+1}}{2^{n+1}}}{\frac{2-3}{2}} =(-2) \frac{2^{n+1}-3^{n+1}}{2^{n+1}} =\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{2^{n}}[/tex]
Ah si, scusa mi ero confuso....
allora...
[tex]\frac {3^{n+1}-2^{n+1}}{2^{n}}*\frac {1}{3^n}[/tex] è il termine generale della serie [tex]\sum c_n[/tex] giusto?
allora...
[tex]\frac {3^{n+1}-2^{n+1}}{2^{n}}*\frac {1}{3^n}[/tex] è il termine generale della serie [tex]\sum c_n[/tex] giusto?
Sì
Ma per calcolarne adesso la somma devo ricondurla ad una successione [tex](S_n)[/tex] e poi calcolarne il limite, giusto?
... solo che al momento lo so fare solo con le serie geometriche
[EDIT] Un aiutino?
... solo che al momento lo so fare solo con le serie geometriche
[EDIT] Un aiutino?
"Orlok":
Ma per calcolarne adesso la somma devo ricondurla ad una successione [tex](S_n)[/tex] e poi calcolarne il limite, giusto?
... solo che al momento lo so fare solo con le serie geometriche
Devi applicare solo la teoria per le serie geometriche.
. Ti assicuro che è facile, sembra brutta a primo impatto ma non lo è se scrivi il termine generale in un altro modo
Uh grazie!!!! Credo di esserci riuscito...lo sapevo che di mezzo c'erano le serie geometriche
Allora, scritto in quel modo il termine generale, la serie diventa [tex]\sum 3(\frac{3}{6})^{n}-2(\frac{2}{6})^{n}=\sum 3(\frac{3}{6})^{n}-\sum 2(\frac{2}{6})^{n}=3\sum (\frac{3}{6})^{n}-2\sum (\frac{2}{6})^{n}[/tex]
La prima serie è il prodotto di una costante per una serie geometrica di ragione 3/6 che essendo 3/6<1 converge a [tex]\frac{1}{1-\frac{3}{6}}=2[/tex]
La seconda serie è il prodotto di una costante per un'altra serie geometrica di ragione 2/6<1 che converge a [tex]\frac{1}{1-\frac{2}{6}}=3/2[/tex]
quindi il calcolo si riduce a
[tex]3(2)-2(\frac{3}{2})=6-3=3[/tex]
che se non mi sbaglio è lo stesso risultato ottenuto nel caso in cui avessi applicato il teorema
Credo di esserci riuscito...lo sapevo che di mezzo c'erano le serie geometriche Allora, scritto in quel modo il termine generale, la serie diventa [tex]\sum 3(\frac{3}{6})^{n}-2(\frac{2}{6})^{n}=\sum 3(\frac{3}{6})^{n}-\sum 2(\frac{2}{6})^{n}=3\sum (\frac{3}{6})^{n}-2\sum (\frac{2}{6})^{n}[/tex]
La prima serie è il prodotto di una costante per una serie geometrica di ragione 3/6 che essendo 3/6<1 converge a [tex]\frac{1}{1-\frac{3}{6}}=2[/tex]
La seconda serie è il prodotto di una costante per un'altra serie geometrica di ragione 2/6<1 che converge a [tex]\frac{1}{1-\frac{2}{6}}=3/2[/tex]
quindi il calcolo si riduce a
[tex]3(2)-2(\frac{3}{2})=6-3=3[/tex]
che se non mi sbaglio è lo stesso risultato ottenuto nel caso in cui avessi applicato il teorema
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