Serie: Prodotto alla Cauchy
Salve a tutti,
Qualcuno mi sa dire cosa sarebbe il cosiddetto Prodotto "alla Cauchy" riguardante le serie? Purtroppo non ho potuto assistere alla lezione che lo riguardava e in molti libri non l'ho trovato (non so poi se è chiamato in altre fonti con un altro nome).
Grazie
Qualcuno mi sa dire cosa sarebbe il cosiddetto Prodotto "alla Cauchy" riguardante le serie? Purtroppo non ho potuto assistere alla lezione che lo riguardava e in molti libri non l'ho trovato (non so poi se è chiamato in altre fonti con un altro nome).
Grazie
Risposte
Ok! E' esatto!! (scusa il ritardo ma non ero al pc 
)
)
NP^^
Un'ultima cosina:
Per il nostro teorema allora se una delle due serie non dovesse essere convergente assolutamente oppure essere addirittura divergente non si può dire nulla sul carattere della serie prodotto, giusto?
Un'ultima cosina:
Per il nostro teorema allora se una delle due serie non dovesse essere convergente assolutamente oppure essere addirittura divergente non si può dire nulla sul carattere della serie prodotto, giusto?
Eccomi qui, sono tornato! Un controesempio potrebbe essere:
[tex]a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{1+n}}[/tex]
[tex]b_n = a_n[/tex].
[tex]a_n[/tex] (e quindi [tex]b_n[/tex])converge semplicemente per il criterio di Liebnitz, ma non assolutamente.
[tex]\displaystyle a_k b_{n-k} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{1+k} \sqrt{1-k+n}}[/tex]. Ora [tex](n-k+1)(k+1)= \left(\frac{n}{2}+1\right)^2 - \left(\frac{n}{2}-k\right)^2\le \left(\frac{n}{2}+1\right)^2[/tex] (*) dunque:
[tex]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{(n-k+1)(k+1)}}\ge \frac{1}{\frac{n}{2}+1} = \frac{2}{n+2}[/tex]. Abbiamo dunque che, definito [tex]\displaystyle c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} = \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^n}{\sqrt{1+k} \sqrt{1-k+n}}[/tex]:
[tex]\displaystyle |c_n|=\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{1+k} \sqrt{1-k+n}}\ge \sum_{k=0}^n \frac{2}{n+2} = \frac{2}{n+2}\sum_{k=0}^n 1 = \frac{2 (n+1)}{n+2}[/tex] (*).
Ora passando al limite n otteniamo che:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty} |c_n| \ge 2[/tex] dunque la successione non è infinitesima, pertanto non viene soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza della serie [tex]\sum_{n=0}^\infty c_n[/tex].
Abbiamo quindi che [tex]\sum_{n=0}^\infty a_n \sum_{n=0}^\infty b_n\ne \sum_{n=0}^\infty c_n[/tex], infatti il primo membro è finito mentre il secondo non lo è.
Bibliografia: Rudin Principi di analisi matematica, mc graw hill
[Edit]: Modificato un segno in (*)
[Edit2]: Modificato numero in (*)
[tex]a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{1+n}}[/tex]
[tex]b_n = a_n[/tex].
[tex]a_n[/tex] (e quindi [tex]b_n[/tex])converge semplicemente per il criterio di Liebnitz, ma non assolutamente.
[tex]\displaystyle a_k b_{n-k} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{1+k} \sqrt{1-k+n}}[/tex]. Ora [tex](n-k+1)(k+1)= \left(\frac{n}{2}+1\right)^2 - \left(\frac{n}{2}-k\right)^2\le \left(\frac{n}{2}+1\right)^2[/tex] (*) dunque:
[tex]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{(n-k+1)(k+1)}}\ge \frac{1}{\frac{n}{2}+1} = \frac{2}{n+2}[/tex]. Abbiamo dunque che, definito [tex]\displaystyle c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} = \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^n}{\sqrt{1+k} \sqrt{1-k+n}}[/tex]:
[tex]\displaystyle |c_n|=\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{1+k} \sqrt{1-k+n}}\ge \sum_{k=0}^n \frac{2}{n+2} = \frac{2}{n+2}\sum_{k=0}^n 1 = \frac{2 (n+1)}{n+2}[/tex] (*).
Ora passando al limite n otteniamo che:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty} |c_n| \ge 2[/tex] dunque la successione non è infinitesima, pertanto non viene soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza della serie [tex]\sum_{n=0}^\infty c_n[/tex].
Abbiamo quindi che [tex]\sum_{n=0}^\infty a_n \sum_{n=0}^\infty b_n\ne \sum_{n=0}^\infty c_n[/tex], infatti il primo membro è finito mentre il secondo non lo è.
Bibliografia: Rudin Principi di analisi matematica, mc graw hill
[Edit]: Modificato un segno in (*)
[Edit2]: Modificato numero in (*)
Tutto chiaro...solo una paio di domande 
L'uguaglianza [tex](n-k+1)(k+1)=(\frac{n}{2}+1)^2 - (\frac{n}{2}+k)^2[/tex] non mi pare un'osservazione molto intuitiva che salta subito all'occhio. Mi domando se esiste un metodo per trasformare il prodotto di polinomi in quello di due quadrati di binomio come in questo caso.
Un'altra cosa che non mi è chiara è il passaggio [tex]\frac{2}{n+1}\sum_{k=0}^n 1 =\frac {2(n+1)}{n+2}[/tex]
L'uguaglianza [tex](n-k+1)(k+1)=(\frac{n}{2}+1)^2 - (\frac{n}{2}+k)^2[/tex] non mi pare un'osservazione molto intuitiva che salta subito all'occhio. Mi domando se esiste un metodo per trasformare il prodotto di polinomi in quello di due quadrati di binomio come in questo caso.
Un'altra cosa che non mi è chiara è il passaggio [tex]\frac{2}{n+1}\sum_{k=0}^n 1 =\frac {2(n+1)}{n+2}[/tex]
"Orlok":
Tutto chiaro...solo una paio di domande
L'uguaglianza [tex](n-k+1)(k+1)=(\frac{n}{2}+1)^2 - (\frac{n}{2}+k)^2[/tex] non mi pare un'osservazione molto intuitiva che salta subito all'occhio. Mi domando se esiste un metodo per trasformare il prodotto di polinomi in quello di due quadrati di binomio come in questo caso.
Effettivamente il passaggio non è poi così immediato. (Ho modificato il messaggio precedente, ho commesso un errore nella trascrizione di un segno
)"Orlok":
Un'altra cosa che non mi è chiara è il passaggio [tex]\frac{2}{n+1}\sum_{k=0}^n 1 =\frac {2(n+1)}{n+2}[/tex]
Discende dal fatto che [tex]\displaystyle\sum_{k=0}^n 1= n+1[/tex], lo puoi dimostrare per induzione oppure puoi semplicemente dire che sommi n+1 uni
ah ok...adesso credo di aver capito tutto. Ti ringrazio veramente tanto e ti auguro Buon Anno 
"Mathematico":
[quote="Orlok"]
Un'altra cosa che non mi è chiara è il passaggio [tex]\frac{2}{n+1}\sum_{k=0}^n 1 =\frac {2(n+1)}{n+2}[/tex]
Discende dal fatto che [tex]\displaystyle\sum_{k=0}^n 1= n+1[/tex], lo puoi dimostrare per induzione oppure puoi semplicemente dire che sommi n+1 uni
[/quote]E allora avresti [tex]$\frac{2}{n+1}\sum_{k=0}^n 1=\frac{2}{n+1}(n+1)=2$[/tex], no?
in effetti....
Ehm... scusatemi, ho ricorretto il mio post... Il latex non è difficile, ma alle volte mi fa impazzire 
Colpa mia; non avevo pensato ad un typo.
Mi sorge un dubbio, più che altro non riesco a ricordare:
ma perchè la serie [tex]\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt {1+n}}[/tex]non converge assolutamente ?
EDIT: che sia per il fatto che [tex]\sum |\frac{(-1)^n}{\sqrt {1+n}}|=\sum \frac{1}{\sqrt {1+n}}[/tex] e quindi il termine generale è un infinitesimo del 1° ordine?
ma perchè la serie [tex]\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt {1+n}}[/tex]non converge assolutamente ?
EDIT: che sia per il fatto che [tex]\sum |\frac{(-1)^n}{\sqrt {1+n}}|=\sum \frac{1}{\sqrt {1+n}}[/tex] e quindi il termine generale è un infinitesimo del 1° ordine?
Veramente è un infinitesimo d'ordine $1/2$... E sì, è proprio per questa ragione che non converge.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo