Serie potenze complesse
Sto studiando le serie di potenze e qualcosina sulle funzioni analitiche (analisi 2), ma ho questo esercizio dove proprio non saprei come iniziare:
data:
$sum_(n=0)^oo z^(3n) = k$
studiare la risolubilità dell'equazione al variare di k nei complessi (considerando che z è complesso)
data:
$sum_(n=0)^oo z^(3n) = k$
studiare la risolubilità dell'equazione al variare di k nei complessi (considerando che z è complesso)
Risposte
Ciao! La serie può essere riscritta come
$$\sum_{n=0}^{\infty} (z^3)^{n}$$
Ed è una serie abbastanza nota di cui, sotto opportune condizioni su $|z|$, si può calcolare esplicitamente la somma. Riesci a proseguire da qui?
$$\sum_{n=0}^{\infty} (z^3)^{n}$$
Ed è una serie abbastanza nota di cui, sotto opportune condizioni su $|z|$, si può calcolare esplicitamente la somma. Riesci a proseguire da qui?
Grazie per la risposta, il problema è che è il primo tipo di "problema inverso" che incontro, e in generale uno dei primi con i numeri complessi. E il k "variabile" che mi confonde, perchè credo che per ogni k in C dovrei dire se è possibile che converga o no ecc, purtroppo non ho trovato nessun problema simile già risolto quindi vorrei vedere questo risolto completamente se non è dispendioso di tempo per i calcoli.
Ti si sta chiedendo di risolvere un'equazione del tipo $f(z)=k$ al variare del parametro $k$.
Della $f$ hai un'espressione in serie che però puoi calcolare esplicitamente.
Prova.
Qual è la somma della serie?
Come si riscrive l'equazione?
Come si risolve?
Della $f$ hai un'espressione in serie che però puoi calcolare esplicitamente.
Prova.
Qual è la somma della serie?
Come si riscrive l'equazione?
Come si risolve?
Ciao biggbosss@hotmail.it,
Benvenuto sul forum!
No, qui ti sbagli, la convergenza della serie non dipende da $k$: converge comunque (sotto determinate condizioni). Non la riconosci? Si tratta di una serie ben nota che dovresti aver studiato...
Benvenuto sul forum!
"biggbosss@hotmail.it":
[...]credo che per ogni k in C dovrei dire se è possibile che converga o no [...]
No, qui ti sbagli, la convergenza della serie non dipende da $k$: converge comunque (sotto determinate condizioni). Non la riconosci? Si tratta di una serie ben nota che dovresti aver studiato...
mi metterò a lavoro e chiederò altri consigli nel caso allora 
Dai, come te l'ha scritta Mephlip si vede subito che è una serie geometrica... Ne sai calcolare la somma?
[xdom="gugo82"]Lo OP, in barba alle norme di buona educazione, aveva cancellato il testo dell’esercizio proposto.
Visto che non ci piacciono thread acefali ed illeggibili, ho ripristinato lo stato delle cose… Ma visto che ci piacciono ancor meno utenti che hanno comportamenti scorretti, chiudo.[/xdom]
Visto che non ci piacciono thread acefali ed illeggibili, ho ripristinato lo stato delle cose… Ma visto che ci piacciono ancor meno utenti che hanno comportamenti scorretti, chiudo.[/xdom]
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