Serie numeriche, serie di funzioni
Salve ragazzi,
ho un problema serio, ma proprio serio, con le serie numeriche, ma soprattutto con le serie di funzioni.
In particolare non riesco a capire quale teorema utilizzare per la risoluzione delle serie.
Per le serie di funzioni l'unico teorema che ho trovato è quello della convergenza totale, che implica la convergenza uniforme che implica quella puntuale, cioè: data una serie di funzioni, se riesco a trovare una successione a termini positivi che converge e che è sempre maggiore della serie di funzioni allora la serie di funzioni iniziale converge.
Il problema è che non è sempre possibile trovare questa fatidica serie numerica. Inoltre se la serie non dovesse convergere totalmente come facciamo a verificare se essa converge uniformemente o puntualmente?
Per esempio: $ sum_(n=1)^oo (-1)^n x^n $
Inanzitutto questa è una serie a segni alterni, quindi se fosse una serie numerica andrei a studiare la serie dei moduli associata per verificare la convergenza, ma qua? Come si procede? Se esiste, potete scrivere il metodo sistematico dì risoluzione delle serie di funzioni please?
ho un problema serio, ma proprio serio, con le serie numeriche, ma soprattutto con le serie di funzioni.
In particolare non riesco a capire quale teorema utilizzare per la risoluzione delle serie.
Per le serie di funzioni l'unico teorema che ho trovato è quello della convergenza totale, che implica la convergenza uniforme che implica quella puntuale, cioè: data una serie di funzioni, se riesco a trovare una successione a termini positivi che converge e che è sempre maggiore della serie di funzioni allora la serie di funzioni iniziale converge.
Il problema è che non è sempre possibile trovare questa fatidica serie numerica. Inoltre se la serie non dovesse convergere totalmente come facciamo a verificare se essa converge uniformemente o puntualmente?
Per esempio: $ sum_(n=1)^oo (-1)^n x^n $
Inanzitutto questa è una serie a segni alterni, quindi se fosse una serie numerica andrei a studiare la serie dei moduli associata per verificare la convergenza, ma qua? Come si procede? Se esiste, potete scrivere il metodo sistematico dì risoluzione delle serie di funzioni please?
Risposte
Nel teorema di Leibniz per le serie a segni alterni, oltre al criterio di convergenza, si dimostra anche che, detta \(S\) la somma a cui converge la serie \(\sum_{n\in\mathbb N}(-a)^na_n\), si ha che \(|A_k-S|
\[
\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in(-1,1)}|A_n(x)-S(x)|<\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in(-1,1)}|x^{n+1}|=\lim_{n\to+\infty} 1\ne 0
\]
quindi non è il caso.
Succede invece se restringi ancora l'intervallo a \([-1+\varepsilon,1-\varepsilon]\) per un \(\varepsilon>0\) arbitrariamente piccolo.
\[
\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in(-1,1)}|A_n(x)-S(x)|<\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in(-1,1)}|x^{n+1}|=\lim_{n\to+\infty} 1\ne 0
\]
quindi non è il caso.
Succede invece se restringi ancora l'intervallo a \([-1+\varepsilon,1-\varepsilon]\) per un \(\varepsilon>0\) arbitrariamente piccolo.
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