Serie numeriche - Help esercizi
Le serie mi danno più rogna di quanto pensassi...
$\Sigma ln n/n$ dice che diverge... ma per me converge! Provato col criterio del rapporto e non riesco a determinare nulla perchè il limie è =1... allora ho provato tramite confronto asintotico e se non erro è un minorante della serie $\Sigma 1/n^2$ duqnue dovrebbe convergere anchessa...
$\Sigma \ sin(\pi/n)$
stesso problema con quest'altra serie... $\lim_(n to \infty) sin(\pi/n)=1 $ e non so come procedere per determinarne il carattere in quanto non saprei con cosa confrontarla!
Grazie a tutti in anticipo...
$\Sigma ln n/n$ dice che diverge... ma per me converge! Provato col criterio del rapporto e non riesco a determinare nulla perchè il limie è =1... allora ho provato tramite confronto asintotico e se non erro è un minorante della serie $\Sigma 1/n^2$ duqnue dovrebbe convergere anchessa...
$\Sigma \ sin(\pi/n)$
stesso problema con quest'altra serie... $\lim_(n to \infty) sin(\pi/n)=1 $ e non so come procedere per determinarne il carattere in quanto non saprei con cosa confrontarla!
Grazie a tutti in anticipo...
Risposte
Per la prima serie prova a vedere se puoi applicare il criterio di condensazione di Cauchy...per quanto riguarda quel confronto non mi trovo con il tuo ragionamento.
Per la seconda serie fai attenzione al fatto che $lim_(n->+oo)sin(\pi/n)=0$...
Per la seconda serie fai attenzione al fatto che $lim_(n->+oo)sin(\pi/n)=0$...
ma il discorso di fare il limite del termine generale non sempre da il risultato corretto! Come faccio a sapere quando posso usarlo e quando no?
Dalla teoria: "condizione necessaria affinchè una serie possa convergere è che il termine generale sia infinitesimo"
Questa è condizione solo necessaria, cioè se tu scopri che il termine generale è infinitesimo non puoi concludere che la serie converge, come esempio ti puoi rifare alla serie armonica $sum_(n=1)^(+oo) 1/n$.
E' un passaggio obbligatorio da fare per studiare una serie, in quanto se il termine generale non è infinitesimo allora questo criterio di permette di dire che la serie diverge, ma solo in questo caso.
Questa è condizione solo necessaria, cioè se tu scopri che il termine generale è infinitesimo non puoi concludere che la serie converge, come esempio ti puoi rifare alla serie armonica $sum_(n=1)^(+oo) 1/n$.
E' un passaggio obbligatorio da fare per studiare una serie, in quanto se il termine generale non è infinitesimo allora questo criterio di permette di dire che la serie diverge, ma solo in questo caso.
quindi data una qualsiasi serie, devo prima vedere se il limite del termine generale è 0... se è zero verifico con criterio del rapporto, della radice e del confronto che sia convergente, mentre se il limite è diverso da 0 allora la serie diverge?
E se ho a che fare con una serie indeterminata? Cioè se il limite del termine generale non è zero so che la serie non converge giusto? non che diverge...
E se ho a che fare con una serie indeterminata? Cioè se il limite del termine generale non è zero so che la serie non converge giusto? non che diverge...
Si se il termine generale della serie non è infinitesimo allora puoi concludere direttamente che la serie diverge!
Studia un pochino di più la teoria...sono tutte cose che trovi su un qualsiasi libro di analisi I
Studia un pochino di più la teoria...sono tutte cose che trovi su un qualsiasi libro di analisi I
ma a questo punto a cosa servono i criteri del rapporto della radice e del confronto?
Inoltre secondo il tuo ragionamento $\lim_(n to \infty) 1/n=0$ ma $\Sigma 1/n$ è divergente...
"Lorin":
Si se il termine generale della serie non è infinitesimo allora puoi concludere direttamente che la serie diverge!
Mmm, mi sa di no. Secondo me, è come dice ansioso: se il termine generale non è infinitesimo, allora la serie non converge, ma ciò non vuol dire, in generale, che la serie diverga.
E.g., considera la celeberrima $sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}$.
Naturalmente, la tua affermazione vale per serie di segno (definitivamente) costante, per una nota proprietà di regolarità delle successioni monotone.
"ansioso":
Inoltre secondo il tuo ragionamento $\lim_(n to \infty) 1/n=0$ ma $\Sigma 1/n$ è divergente...
Si infatti questo è un esempio del fatto che "se il termine generale della serie è infinitesimo" non è detto che la serie converga, ma bisogna studiarla con qualche criterio, per questo viene chiamata condizione necessaria e non sufficiente.
Per il resto quello che volevo dire io è: se il termine generale della serie non è infinitesimo, cioè non è $0$, allora puoi concludere che la serie diverge. Non vedo nulla di sbagliato!
EDIT: ovviamente, come precisa paolo, quando la condizione necessaria non si verifica è meglio dire che non converge, perchè si potrebbe avere a che fare con serie oscillanti, quindi è meglio distinguere. Ma in generale per serie a termini positivi o si ha convergenza o divergenza
e quindi la prassi per determinare il carattere di una serie senza errori quale sarebbe? sto incominciando a rincretinirmi...
ovviamente, come precisa paolo, quando la condizione necessaria non si verifica è meglio dire che non converge, perchè si potrebbe avere a che fare con serie oscillanti, quindi è meglio distinguere. Ma in generale per serie a termini positivi o si ha convergenza o divergenza.
La prassi, scusa la battuta, è di incominciare a studiare un pò la teoria
La prassi, scusa la battuta, è di incominciare a studiare un pò la teoria
ma gaurda che la teoria la sto studiando... ecco perchè insisto che quello che dici non è del tutto corretto...
ho problemi nel fare gli esercizi perchè mi accorgo che a fare il limite a volte non si ottiene il vero risultato della serie... tipo
$1/(log n)^2$ per me è convergente... mentre il risultato porta divergente... adesso che trovo altri esercizi del genere te li presento tutti e vediamo un po di capire le serie...
ho problemi nel fare gli esercizi perchè mi accorgo che a fare il limite a volte non si ottiene il vero risultato della serie... tipo
$1/(log n)^2$ per me è convergente... mentre il risultato porta divergente... adesso che trovo altri esercizi del genere te li presento tutti e vediamo un po di capire le serie...
ecco un'altro esempio dove il limite è 0 ma la serie diverge... $\Sigma ((2n)/(n+1))^n$ il limite è zero ma la serie diverge... se adoperassi il tuo concetto per svolgere gli esercizi sarebbe come tirare ad indovinare... ecco perchè mi chiedo come si fanno gli esercizi? Non penso sia a indovinello...
Allora forse non ti è chiara la differenza tra condizione necessaria e sufficiente...
La serie in esame è questa: $sum_(n=1)^(+oo)1/(log^(2)n)$ . Allora prima cosa da fare è vedere se la condizione necessaria per la convergenza si verifica: $lim_(n->+oo)1/(log^(2)n)=0$, bene, la serie potrebbe convergere. Arrivato a questo punto dovresti studiare l'eventuale convergenza con qualche criterio, ma a priori dal limite che ho svolto prima non posso dire ancora nulla.
Tu perchè dici: per me è convergente?!
PS: se non fossi cosciente delle cose che ti sto dicendo non mi permetterei di rispondere.
PPS: che libro usi?!
La serie in esame è questa: $sum_(n=1)^(+oo)1/(log^(2)n)$ . Allora prima cosa da fare è vedere se la condizione necessaria per la convergenza si verifica: $lim_(n->+oo)1/(log^(2)n)=0$, bene, la serie potrebbe convergere. Arrivato a questo punto dovresti studiare l'eventuale convergenza con qualche criterio, ma a priori dal limite che ho svolto prima non posso dire ancora nulla.
Tu perchè dici: per me è convergente?!
PS: se non fossi cosciente delle cose che ti sto dicendo non mi permetterei di rispondere.
PPS: che libro usi?!
"ansioso":
ecco un'altro esempio dove il limite è 0 ma la serie diverge... $\Sigma ((2n)/(n+1))^n$ il limite è zero ma la serie diverge... se adoperassi il tuo concetto per svolgere gli esercizi sarebbe come tirare ad indovinare... ecco perchè mi chiedo come si fanno gli esercizi? Non penso sia a indovinello...
e chi ti dice che $lim_(n->+oo)((2n)/(n+1))^n=0$ ?
Cosa che non è vera...
uso il Bramanti Pagani Salsa - Matematica calcolo infinitesimale e algebra lineare
ti dico perchè applicando il criterio del rapporto ottengo
$lim_(n to infty ) 1/log (n+1) log n = \lim \ log (n/(n+1)) = log\ lim n/n=log 1=0 $ quindi essendo il limite <1 converge secondo il criterio del rappoto
ps... mi sa che ho detto na cazzatona...
si infatti perchè viene $\infty/\infty$ quindi dell'hopital e ottengo $\lim_(n to infty) 1/n (n+1)=1$
ti dico perchè applicando il criterio del rapporto ottengo
$lim_(n to infty ) 1/log (n+1) log n = \lim \ log (n/(n+1)) = log\ lim n/n=log 1=0 $ quindi essendo il limite <1 converge secondo il criterio del rappoto
ps... mi sa che ho detto na cazzatona...
si infatti perchè viene $\infty/\infty$ quindi dell'hopital e ottengo $\lim_(n to infty) 1/n (n+1)=1$
Occupiamoci di un esercizio alla volta però...altrimenti io non riesco a seguirti.
Dalla tua risposta vedo che stai affrontando l'esercizio che riguarda la serie $sum_(n=1)^(+oo) 1/(log^(2)n)$. E' evidente che tu abbia qualche lacuna riguardo le proprietà delle funzioni di base, perchè non è assolutamente vero che $loga/(logb)=log(a/b)$. Quindi iniziamo col recuperare le lacune e di studiare bene la teoria prima di inoltrarsi in esercizi troppo complessi...
Dalla tua risposta vedo che stai affrontando l'esercizio che riguarda la serie $sum_(n=1)^(+oo) 1/(log^(2)n)$. E' evidente che tu abbia qualche lacuna riguardo le proprietà delle funzioni di base, perchè non è assolutamente vero che $loga/(logb)=log(a/b)$. Quindi iniziamo col recuperare le lacune e di studiare bene la teoria prima di inoltrarsi in esercizi troppo complessi...
si scusa... ho corretto mentre scrivevi... perfavore aiutami se puoi!
"ansioso":
ps... mi sa che ho detto na cazzatona...
si infatti perchè viene $\infty/\infty$ quindi dell'hopital e ottengo $\lim_(n to infty) 1/n (n+1)=1$
Guarda che Hopital non lo puoi proprio applicare quando studi le successioni, perchè non puoi proprio definire il concetto di derivata.
Ti riformulo la domanda, che poi adesso è una mia curiosità: ma hai mai studiato la teoria?...
...dalle risposte che dai ho parecchi dubbi sulla tua preparazione...
ti giuro che l'ho studiata... sul libro che ho io non sta scritto da nessuna parte che non posso usare dell' hopital... sta scritto semplicemente che se il limte è <1 la serie convrege se è >1 diverge se è =1 non si può dire nulla a priori...
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