SERIE NUMERICHE

[goremc]

salve, vorrei fare una domanda per rispondere a un quesito che mi attanaglia!!

Qual'è il meccanismo di fondo quando si riscrive una serie cambiando indice??

ad esempio.. se ho una serie da n=0 a +infinito

come la riscrivo se la faccio partire da n=2 ???

[gio73]

Ciao goremc e benvenuto sul forum, puoi modificare il titolo in tutto minuscolo (usa il tasto modifica in alto a destra), il maiuscolo equivale ad un urlo e non ce ne è alcun bisogno, ti pare? A presto.

[Gost91]

Credo di poterti aiutare in parte.

Considera a titolo d'esempio la seguente serie numerica

\[\sum_{i=0}^{5}i\]

sviluppando i conti si trova:

\[\begin{split}
\sum_{i=0}^{5}i &=0+1+2+3+4+5 \\
&=15
\end{split}\]

Ora se vuoi traslare gli indici, ad esempio di 2, per mantenere inalterata la serie dovrai scrivere:

\[\begin{split}
\sum_{i=2}^{5+2=7}(i-2) &=(2-2)+(3-2)+(4-2)+(5-2)+(6-2)+(7-2) \\
&=0+1+2+3+4+5 \\
&=15
\end{split}\]

In generale, se vuoi traslare gli indici di un termine \(k\), vale che

\[\sum_{i=n}^{N}a_i=\sum_{i=n+k}^{N+k}a_\left (i-k \right)
\]


Ora riprendi in considerazione la serie numerica.
Un'altra cosa che puoi fare è riflettere gli indici, cioè:

\[\begin{split}
\sum_{i=0}^{5}(5-i) &=(5-0)+(5-1)+(5-2)+(5-3)+(5-4)+(5-5)\\
&=5+4+3+2+1+0 \\
&=15
\end{split}\]

A vedersi sembra un attimino più complicata della precedente, ma non è così.
Detto alla carlona: sommare dal primo elemento all'ultimo equivale a sommare dall'ultimo al primo elemento.
In generale vale che

\[\sum_{i=n}^{N}a_i=\sum_{i=n}^{N}a_\left (N-i \right)
\]

La generalizzazione al caso di serie infinite la lascio ad utenti più esperti di me, così da non rischiare di darti consigli sbagliati.