Serie numerica (convergenza) (correttezza dello svolgimento)
Il problema è il seguente, ho trovato parecchie difficoltà nel risolvere il seguente esercizio (magari sono un po arruginito), ad ogni modo vorrei chiedervi se la soluzione proposta è corretta e se c'è un modo più veloce per arrivarci
Determinare i valori di $x in RR$ con $x> - 1$ per cui la seguente serie numerica converge
$\sum_{k=1}^{infty} x^n * ln(1+x/n) $
soluzione proposta
Per $x>0$ la serie è a termini positivi, quindi utilizzo il criterio del rapporto
$(x^(n+1) * ln(1+x/(n+1)))/(x^(n) * ln(1+x/(n)))=x* ln(1+x/(n+1))/ln(1+x/n)$
poichè il logaritmo è una funzione crescente vale sicuramente
$ln(1+x/(n+1))
Da cui
$ln(1+x/(n+1))/ln(1+x/n)<1$
quindi sostituendo nel criterio del rapporto, si ha che è sufficiente che $x<1$
Daltronde per $x=1$ sostituendo, la serie diventa
$\sum_{k=1}^{infty} ln(1+1/n) $
Utilizzando il criterio del confronto asintotico, confrontiamo questa serie con la serie armonica
$ln(1+1/n)/(1/n)=n*ln=(1+1/n)=ln(1+1/n)^n->1$
Quindi la serie si comporta come l'armonica, quindi diverge.
Quindi fin ora abbiamo mostrato che per $x in (0,1) $ la serie converge
Per $x=0$ la serie è a somma $0$.
Per $x<0$ la serie è a termini negativi
quindi studiare $-1
quindi la serie diventa
$\sum_{k=1}^{infty} (-x)^n * ln(1-x/n) $
con $0
ovvero
$\sum_{k=1}^{infty} (-1)^n *x* ln(1-x/n) $
L'idea è di utilizzare Leibniz, ma la successione non è a termini positivi, ma a meno di mettere in evidenza ancora un $(-1)$
$\sum_{k=1}^{infty} (-1)^(n+1) *x*( -ln(1-x/n))$
Ora Leibniz è applicabile, essendo la successione decrescente e infinitesima la serie converge.
Quindi, come conclusione la serie converge in $[-1,1)$
Qualcuno conferma?
Ringrazio in anticipo per la disponibilità
Determinare i valori di $x in RR$ con $x> - 1$ per cui la seguente serie numerica converge
$\sum_{k=1}^{infty} x^n * ln(1+x/n) $
soluzione proposta
Per $x>0$ la serie è a termini positivi, quindi utilizzo il criterio del rapporto
$(x^(n+1) * ln(1+x/(n+1)))/(x^(n) * ln(1+x/(n)))=x* ln(1+x/(n+1))/ln(1+x/n)$
poichè il logaritmo è una funzione crescente vale sicuramente
$ln(1+x/(n+1))
Da cui
$ln(1+x/(n+1))/ln(1+x/n)<1$
quindi sostituendo nel criterio del rapporto, si ha che è sufficiente che $x<1$
Daltronde per $x=1$ sostituendo, la serie diventa
$\sum_{k=1}^{infty} ln(1+1/n) $
Utilizzando il criterio del confronto asintotico, confrontiamo questa serie con la serie armonica
$ln(1+1/n)/(1/n)=n*ln=(1+1/n)=ln(1+1/n)^n->1$
Quindi la serie si comporta come l'armonica, quindi diverge.
Quindi fin ora abbiamo mostrato che per $x in (0,1) $ la serie converge
Per $x=0$ la serie è a somma $0$.
Per $x<0$ la serie è a termini negativi
quindi studiare $-1
quindi la serie diventa
$\sum_{k=1}^{infty} (-x)^n * ln(1-x/n) $
con $0
ovvero
$\sum_{k=1}^{infty} (-1)^n *x* ln(1-x/n) $
L'idea è di utilizzare Leibniz, ma la successione non è a termini positivi, ma a meno di mettere in evidenza ancora un $(-1)$
$\sum_{k=1}^{infty} (-1)^(n+1) *x*( -ln(1-x/n))$
Ora Leibniz è applicabile, essendo la successione decrescente e infinitesima la serie converge.
Quindi, come conclusione la serie converge in $[-1,1)$
Qualcuno conferma?
Ringrazio in anticipo per la disponibilità
Risposte
Controlla l'indice della sommatoria nel testo.
Per quanto riguarda la serie, innanzitutto c'è da controllare che gli addendi siano definiti per ogni [tex]$n$[/tex], ciò che importa [tex]$x\in ]-1,+\infty[$[/tex].
Poi, dato che [tex]$\ln (1+y) \approx y$[/tex] per [tex]$y\to 0$[/tex] si ha asintoticamente per ogni [tex]$x\in ]-1,+\infty[$[/tex]:
[tex]$\ln (1+\tfrac{x}{n}) \approx \frac{x}{n}$[/tex]
ergo [tex]$|x^n\ \ln (1+\tfrac{x}{n})| \approx |x|\ \tfrac{|x|^n}{n}$[/tex]; pertanto la serie converge assolutamente se [tex]$|x|<1$[/tex] ossia se [tex]$x\in ]-1,1[$[/tex] mentre non può convergere se [tex]$x>1$[/tex] (non è verificata la condizione necessaria).
L'unico caso dubbio è [tex]$x=1$[/tex], ma in tal caso la serie non può convergere per confronto asintotico con la serie armonica.
Per quanto riguarda la serie, innanzitutto c'è da controllare che gli addendi siano definiti per ogni [tex]$n$[/tex], ciò che importa [tex]$x\in ]-1,+\infty[$[/tex].
Poi, dato che [tex]$\ln (1+y) \approx y$[/tex] per [tex]$y\to 0$[/tex] si ha asintoticamente per ogni [tex]$x\in ]-1,+\infty[$[/tex]:
[tex]$\ln (1+\tfrac{x}{n}) \approx \frac{x}{n}$[/tex]
ergo [tex]$|x^n\ \ln (1+\tfrac{x}{n})| \approx |x|\ \tfrac{|x|^n}{n}$[/tex]; pertanto la serie converge assolutamente se [tex]$|x|<1$[/tex] ossia se [tex]$x\in ]-1,1[$[/tex] mentre non può convergere se [tex]$x>1$[/tex] (non è verificata la condizione necessaria).
L'unico caso dubbio è [tex]$x=1$[/tex], ma in tal caso la serie non può convergere per confronto asintotico con la serie armonica.
si l'indice della sommatoria non è chiaramente $k$ ma $n$...
mi sembra che anche seguendo la tua strada arriviamo allo stesso risultato (che quindi sembrerebbe corretto)
mi sembra che anche seguendo la tua strada arriviamo allo stesso risultato (che quindi sembrerebbe corretto)
Sì, certo.
Però ti è scappato un [tex]$-1$[/tex] alla fine.
Però ti è scappato un [tex]$-1$[/tex] alla fine.
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