Serie numerica convergente

[retrocomputer]

Ho provato a dimostrare che la seguente serie converge, o meglio che
$$\sum_{n=k}^\infty\frac{1}{n^2}\leq \frac{2}{k}\ \ \forall\ k>0\ \text{ intero.}$$
Purtroppo non sono riuscito a trovare un modo più elegante e mi devo accontentare di considerare separatamente il caso $k=1$ dal caso $k>1$. In entrambi i casi utilizzo la serie di Mengoli.

[*:3vt0lfz1]per $k=1$, $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=1+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n^2}\leq 1+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)}=2$;
[/*:m:3vt0lfz1]
[*:3vt0lfz1]per $k>1$, $\sum_{n=k}^\infty\frac{1}{n^2} = \frac{1}{k^2}+\sum_{n=k+1}^\infty\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{k^2}+\sum_{n=k+1}^\infty\frac{1}{n(n-1)} =$
$= \frac{1}{k^2}+\sum_{h=k}^\infty\frac{1}{h(h+1)} = \frac{1}{k^2}+\sum_{h=1}^\infty\frac{1}{h(h+1)}-\sum_{h=1}^{k-1}\frac{1}{h(h+1)} =$
$= \frac{1}{k^2}+1-(1-\frac{1}{k})=\frac{1+k}{k^2}\leq\frac{2k}{k^2}=\frac{2}{k}$.[/*:m:3vt0lfz1][/list:u:3vt0lfz1]
Va bene?
Avete idee migliori?
Avrei seguito anche la strada $\frac{1}{n(n-1)}=\int_{n-1}^n x^{-2}\ dx$, che è forse più breve, ma devo comunque separare i due casi...

[gugo82]

Il fatto che la serie armonica \(\sum 1/n^2\) converga si può mostrare in diecimila modi.

Ad esempio, maggiori la serie armonica con una serie telescopica convergente.
Oppure, usi il criterio integrale, dato che \(\int_1^\infty x^{-2}\text{d} x\) converge.
Oppure usi il criterio di condensazione di Cauchy, applicabile in quanto la serie \(\sum 2^n (2^n)^{-2} =\sum 2^{-n}\) è geometrica convergente.

Tanto basta per coprire tutti i casi, giacché due serie che differiscono solo per un numero finito di termini hanno necessariamente lo stesso carattere.

[theras]

La via dimostrativa che preferisco,tra le tante possibili,
è quella del criterio di condensazione
(anche se mi brucia dirlo,
perché da quando sono entrato nell'età della ragione matematica non è ancora accaduto d'aver trovato insoddisfacente anche una sola delle maniere scelte dal buon Augustin e/o dai suoi allievi per mettere il becco in $10^n,"con "n > > 6,$ questioni diverse ):
è infatti immediato,tramite quel teorema,
discutere il comportamento della serie armonica generalizzata al variare di $alpha$ in tutto $RR$,
mentre a farlo per confronto con la serie di Mengoli resta il dubbio sul caso $1 Saluti dal web.

[retrocomputer]

Grazie a entrambi!

Ho provato a usare il criterio di condensazione (che non conoscevo) per dimostrare la minorazione con $2/k$ (che è quello che mi serve) e insomma... Qualche "antiestetico" passaggio l'ho scritto comunque ...

Del resto per provare solo la convergenza della serie, sfruttando quello che ha detto gugo82, cioè che "due serie che differiscono solo per un numero finito di termini hanno necessariamente lo stesso carattere", basta anche Mengoli e i due passaggi del caso $k=1$...

[theras]

@Retro.
Se puoi usare la soluzione del "Problema di Basilea"
(i.e. il fatto che $sum_(n=1)^(+oo)1/(n^2)=(pi^2)/6$,dimostrato per la prima volta,caso strano,da Eulero ),
mi pare ad occhio che la disuguaglianza che ti serve può esser dimostrata abbastanza velocemente per induzione:
non ne son certo,ma aspetta eventualmente ulteriori consigli
(ho il sospetto che pure James s'unirà a questa discussione..)!
Saluti dal web.