Serie numerica con parametro

[gcappellotto]

Salve a tutti
ho la seguente serie:
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n2^n+5^n}{\alpha^n+3^n}$

dove devo trovare un parametro $\alpha$ tale che la serie sia convergente.

Ho questa soluzione, però mi rimangono dei dubbi.

$\frac{n2^n+5^n}{\alpha^n+3^n}<\frac{2^n \cdot 2^n+5^n}{\alpha^n+3^n}=\frac{4^n+5^n}{\alpha^n+3^n}$
asintotica a:
$\frac{5^n}{\alpha^n}$ per la convergenza dovrebbe essere $\alpha >5$

I miei dubbi sono in questa parte finale.
Grazie per eventuali osservazioni.
Giovanni C.

[Silente]

Ciò che hai scritto alla fine è vero, ma non è quella la giustificazione.
Stiamo parlando dell'argomento della serie \(\displaystyle a_n \), quindi se tende a 0 è solo verificata una condizione necessaria ma non sufficiente.
Applicando ad esempio il criterio della radice:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left( \frac{5}{\alpha } \right)^{n}}=\frac{5}{\alpha } \)
Quindi converge se \(\displaystyle \alpha >5 \).

E se \(\displaystyle \alpha =5 \)?

[21zuclo]

oppure la si potrebbe pensare come una serie geometrica $ \sum_(n=1)^(+\infty) (5/\alpha)^n $

che converge solamente quando $ |5/\alpha|<1 $

Solo per ricordarlo

che il termine generale $a_n\to 0$ è una condizione necessaria ma NON sufficiente (come ti ha detto l'utente sopra)

perchè, prendi questa serie $ \sum_(n=1)^(+\infty)1/n $
il suo termine generale va a 0, ma questa serie NON converge (lo si può dimostrare in tanti modi)

[gugo82]

Risposta breve, assumendo che \(\alpha >0\).

Dato che:
\[
\begin{split}
n\ 2^n + 5^n &\sim 5^n \\
\alpha^n + 3^n &\sim \begin{cases} 3^n &\text{, se } \alpha\leq 3\\
\alpha^n &\text{, se } \alpha >3
\end{cases}\\
&\sim \big( \max \{3,\alpha\}\big)^n
\end{split}
\]
si ha:
\[
\frac{n\ 2^n + 5^n}{\alpha^n + 3^n} \sim \left(\frac{5}{\max \{3,\alpha\}}\right)^n
\]
sicché la serie assegnata ha lo stesso carattere della serie geometrica di ragione \(5/\max\{3,\alpha\}\), la quale converge solo se:
\[
0<\frac{5}{\max \{3,\alpha\}}<1
\]
ossia se \(\max\{3,\alpha\}>5\), il che accade non appena \(\alpha >5\); pertanto la serie assegnata converge sicuramente per ogni \(\alpha >5\).