Serie numerica con n fattoriale
Ho un problema nel calcolare le sommatorie quando è presente un numero fattoriale.
La mia professoressa dice che bisogna usare sempre il criterio del rapporto.
Un esempio è questo esercizio:
$\sum_{n=0}^{infty}= 1/(n!+1)$
Usando il criterio del rapporto:
$1/[(n+1)!+1] * n!+1 =( n!+1)/[n!(n+1)+1] $
Dopodiché non so come andare avanti, non riesco a semplificare il fattoriale nè a dare senso alla sommatoria..
Qualcuno mi può aiutare?
Ho un esonero tra qualche giorno, ve ne sarei immensamente grata.
La mia professoressa dice che bisogna usare sempre il criterio del rapporto.
Un esempio è questo esercizio:
$\sum_{n=0}^{infty}= 1/(n!+1)$
Usando il criterio del rapporto:
$1/[(n+1)!+1] * n!+1 =( n!+1)/[n!(n+1)+1] $
Dopodiché non so come andare avanti, non riesco a semplificare il fattoriale nè a dare senso alla sommatoria..
Qualcuno mi può aiutare?
Ho un esonero tra qualche giorno, ve ne sarei immensamente grata.
Risposte
penso di intuire che l'esercizio richieda di dimostrare la convergenza della serie
incominciamo col dire che essa ha lo stesso carattere della serie di termine generale $1/(n!)$
applicando il criterio del rapporto è banale vedere che quest'ultima è convergente in quanto
$ lim_(n-> +infty)(n!)/((n+1)!)=0 $
incominciamo col dire che essa ha lo stesso carattere della serie di termine generale $1/(n!)$
applicando il criterio del rapporto è banale vedere che quest'ultima è convergente in quanto
$ lim_(n-> +infty)(n!)/((n+1)!)=0 $
in alternativa al criterio del rapporto quando ci sono dei fattoriali..
di solito torna utile ricordarsi la formula di Stirling
$n!$ \(\displaystyle \sim \) $e^(-n) n^(n)\sqrt(2\pi n)$ per $n\to +\infty$
di solito torna utile ricordarsi la formula di Stirling
$n!$ \(\displaystyle \sim \) $e^(-n) n^(n)\sqrt(2\pi n)$ per $n\to +\infty$
"stormy":
penso di intuire che l'esercizio richieda di dimostrare la convergenza della serie
incominciamo col dire che essa ha lo stesso carattere della serie di termine generale $1/(n!)$
applicando il criterio del rapporto è banale vedere che quest'ultima è convergente in quanto
$ lim_(n-> +infty)(n!)/((n+1)!)=0 $
Esatto, l'esercizio richiede di dimostrare la convergenza
Uhm.. Ma quindi i $+1$ che avevo al nominatore e al denominatore che fine fanno?
Poi, mi scrivi che il limite tendente a $+infty$ della funzione è uguale a zero per il teorema della gerarchia degli infiniti, dato che $(n+1)!$ "va a infinito" più velocemente rispetto a $n!$ ?
"21zuclo":
in alternativa al criterio del rapporto quando ci sono dei fattoriali..
di solito torna utile ricordarsi la formula di Stirling
$n!$ \(\displaystyle \sim \) $e^(-n) n^(n)\sqrt(2\pi n)$ per $n\to +\infty$
Ti ringrazio per la risposta ma purtroppo la mia professoressa non ci ha spiegato questa formula, per cui non posso utilizzarla
a noi ce l'aveva fatta vedere l'esercitatore.. però senza dimostrazione e ha detto che la dimostrazione di quella formula.. che poi se noti è una relazione asintotica.. la si vedrà nei corsi successivi.. almeno per me.. io faccio matematica..
chiedila all'esercitatore di spiegarla in classe.. semai dii che l'hai letta su un libro XD o non so.. risulta utile in molti casi senza usare i rapporti..
chiedila all'esercitatore di spiegarla in classe.. semai dii che l'hai letta su un libro XD o non so.. risulta utile in molti casi senza usare i rapporti..
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