Serie numerica

[domenico.migl]

Salve a tutti ho un po di confusione su questa serie:

$\sum_(n=1)^(+\infty) 1/n*(e^(1/sqrt(n))-1)$

Dando un colpo d'occhio si potrebbe dire che la serie diverge positivamente essendo il termine $1/n$ divergente positivamente (serie armonica). Ma facendo i seguenti calcoli mi risulta convergente:

$\lim_(n\to +\infty) 1/n*(e^(1/sqrt(n))-1)$ per gli sviluppi di Taylor sostituisco il termine $e^(1/sqrt(n)$ con $1+1/sqrt(n)$ più un o-piccolo, trascurabile, e diventa $\lim_(n\to +\infty) 1/n*1/sqrt(n)=lim_(n\to +\infty) 1/n^(3/2)$ che è la serie armonica generalizzato con esponente $>1$ e quindi converge .....

Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?

P.S. Il calcolatore online mi dice che è divergente

[cooper1]

il colpo d'occhio non sempre è un buon strumento. calcolare il limite poi non risolve il problema al più se diverge puoi concludere che sicuramente la serie diverge. ma nel tuo caso il limite fa 0 (per cui la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza è soddisfatta ma è tutto quello che possiamo dire). per verificare la convergenza usa il criterio del confronto asintotico (e troverai però che converge).
in spoiler ti metto la soluzione:

$ 1/n*(e^(1/sqrt(n))-1)~ 1/n^(3/2) $ che è convergente, allora converge anche la serie di partenza

[IlPolloDiGödel]

Mi pare sia tutto giusto, ed infatti anche wolfram mi dice che la serie converge. Non fidarti troppo dei calcolatori online, wolfram è abbastanza affidabile ma una volta ne trovai un altro secondo il quale $int_{0}^{1} x dx$ va ad infinito...

[domenico.migl]

Il professore mi aveva detto che se "una parte" della serie diverge (nel mio caso $1/n$) moltiplicata a qualunque altra cosa (sempre nel mio caso $e^(1/sqrt(n))-1$) doveva divergere per forza.. Quindi quello che mi ha detto non è vero, giusto?

[cooper1]

stando a questo ragionamento mi verrebbe da dire allora che anche $ sum_(n = \1)^(+oo)1/n^3 $ diverge. infatti possiamo vedere $ 1/n^3 $ come $ 1/n*1/n^2 $ . dato che 1/n diverge allora diverge tutta la serie?

[domenico.migl]

Ok come immaginavo ... Grazie mille per da disponibilità

[IlPolloDiGödel]

Magari intendeva che un termine divergente moltiplicato ad un termine COSTANTE diverge per forza, e qui ci siamo.