Serie - Non vorrei far brutta figura con il prof
salve a tutti! Oggi mentre mi esercitavo sulle serie mi è capitato questo esercizio che ho "risolto" in maniera un pò particolare ma non ne sono sicuro. Oggi vorrei farlo vedere al prof ma non vorrei fare una brutta figura facendogli vedere un esercizio "fatto con i piedi"..passiamo all'esercizio :
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2+| sin(n \frac{\pi}{2})|}) \)
Ho pensato che \(\displaystyle 0\leq|sin(n \frac{\pi}{2})|\leq1 \)
quindi possiamo scrivere :
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2+| sin(n \frac{\pi}{2})|}) = \sum_{n=2k}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2}) + \sum_{n=2k+1}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2 +1}) = \sum_{n=2k}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2}) + \sum_{n=2k+1}^\infty ln(1) \)
con k appartente ad N
adesso..la seconda serie è una serie costantemente = 0
mentre la prima serie si può confrontare con \(\displaystyle \sum_{n=2k}^\infty ln(2) \)
infatti :
\(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{ln(\frac{2n^2+1}{2n^2})}{ln(2)} = 1\)
allora :
\(\displaystyle \sum_{n=2k}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2}) \sim \sum_{n=2k}^\infty ln(2)\)
quindi la serie di partenza diverge positivamente
ditemi che ho detto un mucchio di cavolate
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2+| sin(n \frac{\pi}{2})|}) \)
Ho pensato che \(\displaystyle 0\leq|sin(n \frac{\pi}{2})|\leq1 \)
quindi possiamo scrivere :
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2+| sin(n \frac{\pi}{2})|}) = \sum_{n=2k}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2}) + \sum_{n=2k+1}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2 +1}) = \sum_{n=2k}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2}) + \sum_{n=2k+1}^\infty ln(1) \)
con k appartente ad N
adesso..la seconda serie è una serie costantemente = 0
mentre la prima serie si può confrontare con \(\displaystyle \sum_{n=2k}^\infty ln(2) \)
infatti :
\(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{ln(\frac{2n^2+1}{2n^2})}{ln(2)} = 1\)
allora :
\(\displaystyle \sum_{n=2k}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2}) \sim \sum_{n=2k}^\infty ln(2)\)
quindi la serie di partenza diverge positivamente
ditemi che ho detto un mucchio di cavolate
Risposte
io farei cosi: la serie è evidentemente a termini positivi con termine generale infinitesimo; osserviamo che il termine generale lo possiamo scrivere come
\begin{align} \ln \left(\frac{2n^2+1}{2n^2+\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right|}\right) &\sim \frac{2n^2+1 }{2n^2+\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right|} -1= \frac{2n^2+1-2n^2-\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right| }{2n^2+\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right|}\\
&= \frac{1 -\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right| }{2n^2+\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right|}\le\frac{1 }{2n^2+\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right|}\le\frac{1 }{2n^2 }\to\mbox{converge}\end{align}
\begin{align} \ln \left(\frac{2n^2+1}{2n^2+\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right|}\right) &\sim \frac{2n^2+1 }{2n^2+\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right|} -1= \frac{2n^2+1-2n^2-\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right| }{2n^2+\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right|}\\
&= \frac{1 -\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right| }{2n^2+\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right|}\le\frac{1 }{2n^2+\left|\sin{\frac{n\pi}{2}}\right|}\le\frac{1 }{2n^2 }\to\mbox{converge}\end{align}
Altrimenti potevi osservare che ,detto $a_n$ il termine generale della tua serie,
si ha $0<=a_n<="log"(2n^2+1)/(2n^2-1)$ $AA n in NN$ (1):
la serie,maggiorante della data,che ha per termine generale l'ultimo membro della (1) è poi convergente per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata d'ordine $2$
(lo deduci velocemente grazie ad un limite notevole..),
e dunque lo è pure quella data per un fondamentale teorema del confronto tra serie numeriche a termini definitivamente positivi!
Saluti dal web.
Edit.
Chiedo venia:
m'era sfuggito il valore assoluto al denominatore..
si ha $0<=a_n<="log"(2n^2+1)/(2n^2-1)$ $AA n in NN$ (1):
la serie,maggiorante della data,che ha per termine generale l'ultimo membro della (1) è poi convergente per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata d'ordine $2$
(lo deduci velocemente grazie ad un limite notevole..),
e dunque lo è pure quella data per un fondamentale teorema del confronto tra serie numeriche a termini definitivamente positivi!
Saluti dal web.
Edit.
Chiedo venia:
m'era sfuggito il valore assoluto al denominatore..
sono appena tornato da lezione ed ovviamente c'era qualcosa di sbagliato!! era proprio il concetto con cui avevo considerato la serie..infatti la serie fatta in questo modo :
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2+| sin(n \frac{\pi}{2})|}) = \sum_{n=2k}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2}) + \sum_{n=2k+1}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2 +1}) = \sum_{n=2k}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2}) + \sum_{n=2k+1}^\infty ln(1) \)
è sbagliatissima!! per quando considero la serie principale come somma di due serie, io vorrei calcolare la serie a termini pari e quella a termini dispari, ma il prof mi ha fatto notare che invece ho scritto una ca****a
infatti la serie
\(\displaystyle \sum_{n=2k}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2}) \)
non è la serie estratta a termini pari ma una NUOVA serie inventata di sana pianta!!
infatti serie per n che va da 2k a infinito significa che l'indice assumerà questi valori : 2k, 2k+1, 2k+2,...., infinito
quindi NON è la serie dei termini pari..menomale che il prof l'ha presa sul ridere
per lo sviluppo mi ha detto che in questi giorni tra gli esercizi da fare in aula inserisce pure questo quindi per adesso non chiudete il topic così appena lo facciamo vi aggiorno
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2+| sin(n \frac{\pi}{2})|}) = \sum_{n=2k}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2}) + \sum_{n=2k+1}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2 +1}) = \sum_{n=2k}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2}) + \sum_{n=2k+1}^\infty ln(1) \)
è sbagliatissima!! per quando considero la serie principale come somma di due serie, io vorrei calcolare la serie a termini pari e quella a termini dispari, ma il prof mi ha fatto notare che invece ho scritto una ca****a
infatti la serie
\(\displaystyle \sum_{n=2k}^\infty ln(\frac{2n^2+1}{2n^2}) \)
non è la serie estratta a termini pari ma una NUOVA serie inventata di sana pianta!!
infatti serie per n che va da 2k a infinito significa che l'indice assumerà questi valori : 2k, 2k+1, 2k+2,...., infinito
quindi NON è la serie dei termini pari..menomale che il prof l'ha presa sul ridere
per lo sviluppo mi ha detto che in questi giorni tra gli esercizi da fare in aula inserisce pure questo quindi per adesso non chiudete il topic così appena lo facciamo vi aggiorno
Hai indubbiamente scritto male le cose, ma l'idea non era da buttare.
Infatti hai correttamente osservato che i termini relativi a indici \(n\) dispari sono nulli; di conseguenza rimangono solo i termini relativi agli indici \(n=2k\), \(k\in\mathbb{N}^+\), per cui la tua serie diviene
\[
\sum_{k=1}^{\infty} \log\left(\frac{2(2k)^2 + 1}{2(2k)^2}\right)=
\sum_{k=1}^{\infty} \log\left(1+\frac{1}{8k^2}\right).
\]
Adesso ti basta osservare che il termine generale è asintotico a \(\frac{1}{8k^2}\) per concludere che la serie è assolutamente convergente.
Infatti hai correttamente osservato che i termini relativi a indici \(n\) dispari sono nulli; di conseguenza rimangono solo i termini relativi agli indici \(n=2k\), \(k\in\mathbb{N}^+\), per cui la tua serie diviene
\[
\sum_{k=1}^{\infty} \log\left(\frac{2(2k)^2 + 1}{2(2k)^2}\right)=
\sum_{k=1}^{\infty} \log\left(1+\frac{1}{8k^2}\right).
\]
Adesso ti basta osservare che il termine generale è asintotico a \(\frac{1}{8k^2}\) per concludere che la serie è assolutamente convergente.
wow *.* grazie 
e grazie anche per avermi incoraggiato 
pensavo fosse TUTTO sbagliato, ma come vedo almeno il ragionamento era giusto. Molto bene, ho anche capito il come ed il perchè dei passaggi che hai fatto.
e grazie anche per avermi incoraggiato pensavo fosse TUTTO sbagliato, ma come vedo almeno il ragionamento era giusto. Molto bene, ho anche capito il come ed il perchè dei passaggi che hai fatto.
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