Serie maledetta
Salve facendo un esercizio sul'eserciziario del Buttazzo- Acerbi, ho riscontrano un esercizio inusuale,Non volendo guardare la soluzione vi posto qui la traccia e dove sono arrivato io.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right)^n \)
sono arrivato a dire che \(\displaystyle \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right)^n = \large e^{\large log \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right)^n}=\large e^{\large n log \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right)} \)
e ho visto che asintoticamente \(\displaystyle n log \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right) \sim n\left(\left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right) -1\right) \sim - \sqrt n \)
il problema è che \(\displaystyle - \sqrt n \) non è un termine generale di una serie a termini positivi e quindi non posso applicare il teorema del confronto asintotico , la radice n esima non funziona e non mi vengono in mente altri criteri validi forse c'è un confronto mascherato da qualche parte però sinceramente non lo vedo, intanto vi posto questo bel quesito se avete suggerimenti siete i benvenuti
.
ps: come posso ingrandire i caratteri delle formule latex? mi sembrano troppo piccoli..
EDIT : caratteri e parentesi.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right)^n \)
sono arrivato a dire che \(\displaystyle \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right)^n = \large e^{\large log \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right)^n}=\large e^{\large n log \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right)} \)
e ho visto che asintoticamente \(\displaystyle n log \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right) \sim n\left(\left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right) -1\right) \sim - \sqrt n \)
il problema è che \(\displaystyle - \sqrt n \) non è un termine generale di una serie a termini positivi e quindi non posso applicare il teorema del confronto asintotico , la radice n esima non funziona e non mi vengono in mente altri criteri validi forse c'è un confronto mascherato da qualche parte però sinceramente non lo vedo, intanto vi posto questo bel quesito se avete suggerimenti siete i benvenuti
.ps: come posso ingrandire i caratteri delle formule latex? mi sembrano troppo piccoli..
EDIT : caratteri e parentesi.
Risposte
Per ingrandire le formule: porta il mouse su una formula -> tasto destro -> Math settings -> Scale all math -> percentuale.
In realtà sei arrivato a dire che
$$\left(\frac{n-\sqrt{n}}{n+1}\right)^n\sim e^{-\sqrt{n}}$$
$$\left(\frac{n-\sqrt{n}}{n+1}\right)^n\sim e^{-\sqrt{n}}$$
Buon giorno ,
credo che già dal secondo confronto asintotico tu ottenga qualcosa di negativo, potresti provare a manipolare il termine con il logaritmo e ricondurlo al limite
$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x$$
tippo aggiungendo e sottraendo qualcosa al numeratore, in modo da lavorare sempre con oggetti positivi. Così facendo dovresti ottenere qualcosa di positivo
p.s. per scrivere in latex con caratteri più grandi solitamente uso il comando \displaystyle, che produce lo stesso effetto del doppio dollaro
,credo che già dal secondo confronto asintotico tu ottenga qualcosa di negativo, potresti provare a manipolare il termine con il logaritmo e ricondurlo al limite
$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x$$
tippo aggiungendo e sottraendo qualcosa al numeratore, in modo da lavorare sempre con oggetti positivi. Così facendo dovresti ottenere qualcosa di positivo
p.s. per scrivere in latex con caratteri più grandi solitamente uso il comando \displaystyle, che produce lo stesso effetto del doppio dollaro
"ciampax":
In realtà sei arrivato a dire che
\[ \left(\frac{n-\sqrt{n}}{n+1}\right)^n\sim e^{-\sqrt{n}} \]
Diamine che stupido, in questo caso il termine generale è confrontabile con una serie a termini positivi .
Qui basta usare il criterio del'integrale infatti la funzione \(\displaystyle e^{- \sqrt x } \) è positiva e generalmente decrescente:
\(\displaystyle \int_{1}^{\infty} e^{- \sqrt x }\) si risolve così : posto \(\displaystyle t = - \sqrt {x} , \)
l'integrale diventa :
\(\displaystyle -\frac{1}{2} \int_{-1}^{- \sqrt c} t e^t dt\) che risolto converge quindi per il criterio del confronto converge la serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} e^{- \sqrt n } \)e per il criterio del confronto asintotico converge anche la serie dell'esercizio.
Grazie ciampax.
"Quinzio":
Per ingrandire le formule: porta il mouse su una formula -> tasto destro -> Math settings -> Scale all math -> percentuale.
Grazie del consiglio, ma mi s'ingrandisce tutto insieme vorrei solo ingrandire alcune parti.
"mary_star":
Buon giorno
credo che già dal secondo confronto asintotico tu ottenga qualcosa di negativo, potresti provare a manipolare il termine con il logaritmo e ricondurlo al limite
\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x \]
tippo aggiungendo e sottraendo qualcosa al numeratore, in modo da lavorare sempre con oggetti positivi. Così facendo dovresti ottenere qualcosa di positivo
Buon giorno
come ha fato notare il buon ciampax ci sta anche un exp di mezzo quindi è tutto positivo... poi no capisco..com'è possibile tramite delle manipolazioni passare da un oggetto negativo ad uno positivo?"mary_star":
p.s. per scrivere in latex con caratteri più grandi solitamente uso il comando \displaystyle, che produce lo stesso effetto del doppio dollaro
uso già diplaystyle ma non sembra funzioni.
L'idea era quella di partire da termini positivi e arrivare a termini positivi ... partire con cose positive e arrivare a roba negativa sembra più magia
Purtroppo avevo fatto dei conti manipolando l'argomento del logaritmo partendo da termini positivi ed arrivando a termini positivi, ma mi sono accorta di aver dimenticato un meno e cambia tutto
... partire con cose positive e arrivare a roba negativa sembra più magia Purtroppo avevo fatto dei conti manipolando l'argomento del logaritmo partendo da termini positivi ed arrivando a termini positivi, ma mi sono accorta di aver dimenticato un meno e cambia tutto
Se non sto per sparare una boiata si dovrebbe avere \(\displaystyle \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right)^n < \frac {1}{n^2}\), dunque avendo un bound superiore, \(\frac{\pi^2}{6}\), la serie converge.
OT:
OT:
"mary_star":
L'idea era quella di partire da termini positivi e arrivare a termini positivi
Purtroppo avevo fatto dei conti manipolando l'argomento del logaritmo partendo da termini positivi ed arrivando a termini positivi, ma mi sono accorta di aver dimenticato un meno e cambia tutto
Ah cioè manipolando cercavi termini positivi più "giocabili", facendo i tuoi calcoli mi accorgo che non sembra la via "meno contosa"
"hyoukarou":
Se non sto per sparare una boiata si dovrebbe avere \( \displaystyle \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right)^n < \frac {1}{n^2} \), dunque avendo un bound superiore, \( \frac{\pi^2}{6} \), la serie converge.
Ciao hyoukarou la tua diseguaglianza miracolosa no son riuscito ad ottenerla devo pensarci un po' . In compenso sono riuscito a dimostrare che \(\displaystyle \frac{1}{e^{\sqrt n}}< \frac{1}{n^2} \) da un certo n abbastanza grande n in poi (le derivate iterate non mentono eheh )e quindi definitivamente la serie converge.
Si esatto... La strada intrapresa è piena di calcoli ed è facile perdersi... Interessante la disuguaglianza di hyoukarou ... Ci ho riflettuto un attimo, ma non ho ottenuto niente
... Ci ho riflettuto un attimo, ma non ho ottenuto niente
secondo me se è una serie a termini positivi (altri possiamo comunque usare la convergenza assoluta) possiamo applicare il criterio della radice, asintoticamente la facciamo equivalere a n/(n+1) e alla fine mi risulta che la serie diverge perchè il risultato è "e" e dato che è maggiore di 1 diverge...però non sono sicuro...voi che dite?
"asker993":
secondo me se è una serie a termini positivi (altri possiamo comunque usare la convergenza assoluta) possiamo applicare il criterio della radice, asintoticamente la facciamo equivalere a n/(n+1) e alla fine mi risulta che la serie diverge perchè il risultato è "e" e dato che è maggiore di 1 diverge...però non sono sicuro...voi che dite?
Se applichi il criterio della radice a \( \displaystyle \left(\frac{n-\sqrt n}{n+1}\right)^n \), il limite ti fa 1 .e non puoi dire nulla sula convergenza.
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