Serie incondizionatamente convergenti

[qwertyuio1]

DEF: una serie (in un generico spazio normato) è incondizionatamente convergente se, in qualunque modo cambio l'ordine dei termini, ottengo sempre una serie convergente.

Questa definizione secondo voi garantisce che, se ho una serie incondiz. convegente e ne riordino i termini, la somma della serie non cambi?

[Rigel1]

A occhio direi di sì.
Penso si possa ragionare così: sia $X$ il tuo spazio normato e $\sum x_n$ la tua serie incondizionatamente convergente.
Indichiamo con $s_n = \sum_{j=1}^n x_j$ le sue somme parziali e con $r_n = \sum_{j=1}^n x_{k_j}$ le somme parziali di un riarrangiamento.
Per ogni $x'\in X'$ la serie numerica $\sum $ sarà incondizionatamente convergente, dunque assolutamente convergente; in particolare,
la somma è indipendente dal riarrangiamento, cioè $\lim_n = \lim_n $.
Quando detto sopra implica che il limite debole di $(s_n)$ è uguale a quello di $(r_n)$; per l'unicità del limite debole, questo implica che $\sum x_n$ è indipendente dal riarrangiamento.

[salvozungri]

"qwertyuio":[...]
Questa definizione secondo voi garantisce che, se ho una serie incondiz. convegente e ne riordino i termini, la somma della serie non cambi?

Secondo me a livello logico, questa definizione garantisce solo la convergenza della serie riordinata, non dice nulla che riguardi la sua somma.