Serie - importanza degli estremi

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lucay9

25 giu 2010, 12:25

Ciao a tutti, ho bisogno di un chiarimento circa le serie.
Considerando la serie:
$ sum_(n=4)^(+oo) (1/(n-1) - 1/(n-3)) $
utilizzando il criterio dell'asintotico arrivo a $ -2 * (1/n^2) $

Vi chiedo ora:
1) $ (1/(n^2)) $ è un'armonica generalizzata MA nel mio caso gli estremi della serie vanno da 4 ad infinito quindi è corretto continuare a considerarla come armonica generalizzata(quindi dire che essendo l'esponente di n>1, converge quindi converge l'intera serie)?

2) la presenza del "-2" è ininfluente? Posso considerare come se fosse un'armonica generalizzata senza preoccuparmi del "-2" ?

Grazie a tutti.
ciao!

Risposte

ViciousGoblin

25 giu 2010, 12:56

Mi pare che ciò che ti manca si questa (semplice ) osservazione:

data una successione ${a_n}$ (definita, diciamo per tutti gli $n\geq1$) dati un intero $n_0>1$ e un numero $k$ diverso da zero, allora

la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge $\Leftrightarrow$ la serie $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ converge $\Leftrightarrow$ la serie $\sum_{n=1}^\infty k a_n$ converge

cosa che puoi facilmente dimostrare applicando le definizioni.