Serie e trasformata di Fourier
Nel cercare informazione su serie e trasformata di Fourier su internet, mi sono imbattuto in contraddizioni e imprecisioni e ho le idee confuse.
Per quanto riguarda la serie, nella gran parte dei siti è scritto che la funzione da rappresentare come serie deve essere periodica. Io, invece, sapevo che non deve necessariamente esserlo, e ho trovato "conferma" su pochissimi siti. Però, nelle formule di calcolo dei coefficienti della serie compare il periodo. Ma se è vera la seconda, qual'è il periodo?
Inoltre, la serie può essere espressa sia in forma trigonometrica che in forma complessa.
Riguardo la sua utilità, ovunque è scritto che è utilizzata per la scomposizione di segnali nella somma di infiniti segnali. In analisi matematica, invece, che utilità ha? E qual'è la sua definizione?
Per la trasformata, invece, sono arrivato a capire che, data una funzione reale di variabile reale, continua o con un numero finito di discontinuità, la sua trasformata di Fourier è una funzione continua e complessa di variabile complessa.
Per calcolare la trasformata c'è una formula, e c'è anche una formula per l'antitrasformata. Tuttavia, calcolando l'antitrasformata, non sempre si ottiene la funzione originaria, quindi alle due formule sono stati mutati tre coefficienti tali che $2pi*a_1*a_2=|b|$. E questo è tutto ciò che (credo) di aver capito al riguardo.
Per quanto riguarda la serie, nella gran parte dei siti è scritto che la funzione da rappresentare come serie deve essere periodica. Io, invece, sapevo che non deve necessariamente esserlo, e ho trovato "conferma" su pochissimi siti. Però, nelle formule di calcolo dei coefficienti della serie compare il periodo. Ma se è vera la seconda, qual'è il periodo?
Inoltre, la serie può essere espressa sia in forma trigonometrica che in forma complessa.
Riguardo la sua utilità, ovunque è scritto che è utilizzata per la scomposizione di segnali nella somma di infiniti segnali. In analisi matematica, invece, che utilità ha? E qual'è la sua definizione?
Per la trasformata, invece, sono arrivato a capire che, data una funzione reale di variabile reale, continua o con un numero finito di discontinuità, la sua trasformata di Fourier è una funzione continua e complessa di variabile complessa.
Per calcolare la trasformata c'è una formula, e c'è anche una formula per l'antitrasformata. Tuttavia, calcolando l'antitrasformata, non sempre si ottiene la funzione originaria, quindi alle due formule sono stati mutati tre coefficienti tali che $2pi*a_1*a_2=|b|$. E questo è tutto ciò che (credo) di aver capito al riguardo.
Risposte
Ti rispondo brevemente per quello che mi ricordo e senza essere rigoroso.
Se vuoi chiarirti le idee sull'utilità "pratica" in ingegneria, devi guardare dei testi di elettronica o telecomunicazioni.
Il principale obbiettivo della serie è di rappresentare un segnale non necessariamente continuo e derivabile attraverso una serie di sinusoidi, cioè funzioni continue derivabili e comode nelle eq. differenziali.
Si e no.
In un primo approcio la risposta è si.
La serie di F. è una somma infinita di sinusoidi con frequenza multipla di una frequenza base detta "fondamentale".
Ovvero
[tex]x(t)= \sum_{n=0}^{+\infty}\ \ a_n \sin(n\omega_0 t + \phi_n)[/tex]
Ora, sommando delle sinusoidi tutte con frequenza multipla di una fondamentale, il segnale che ottieni è a sua volta con frequenza fondamentale.
Da qui il fatto che la serie di F. rappresenta segnali periodici
Se però esegui questa operazione:
[tex]\lim_{w_0 \to 0} \ \sum_{n=0}^{+\infty}\ \ a_n \sin(n\omega_0 t + \phi_n)[/tex]
cioè fai tendere a zero la frequenza fondamentale, ottieni che il periodo:
$T = 1/(\omega_0)$
$lim_{\omega_0 \to 0} T = +oo$
cioè il periodo tende a infinito, ovvero hai un segnale che di fatto è aperiodico, perchè si ripeterà ogni $T$, che tende a $+oo$. Di fatto non si ripete mai.
Questa è però una forma "impropria" della serie di F.
Come detto prima, il periodo diventa "infinito", e la frequenza passa da $n\omega_0, n\in NN$ a $w \in RR$.
Il problema però diventa far convergere l'integrale di F. perchè con segnali di lunghezza infinita, non tutti i segnali fanno convergere l'integrale, anzi, solo pochi lo fanno.
Come ogni numero complesso.
La sua utilità è in ingegneria è ovvia, bisogna però aver studiato elettronica o telecomunicazioni, ad es.
Dovremmo definire cosa si intende per utilità in analisi matematica....non so.
la sua trasformata di Fourier è una funzione continua e complessa di variabile reale
La variabile diventa $\omega \in RR $ , la frequenza, cioè reale.
Altrimenti diventa la trasformata di Laplace (con $\omega \in CC$ ).
Questa cosa mi è oscura.
Antitrasformando, si ottiene la funzione di partenza.
Beh, è già qualcosa.
Se non altro ti poni il problema di capire se quello che leggi ha senso, cosa che non molti fanno.
"serio89":
Nel cercare informazione su serie e trasformata di Fourier su internet, mi sono imbattuto in contraddizioni e imprecisioni e ho le idee confuse.
Se vuoi chiarirti le idee sull'utilità "pratica" in ingegneria, devi guardare dei testi di elettronica o telecomunicazioni.
Il principale obbiettivo della serie è di rappresentare un segnale non necessariamente continuo e derivabile attraverso una serie di sinusoidi, cioè funzioni continue derivabili e comode nelle eq. differenziali.
Per quanto riguarda la serie, nella gran parte dei siti è scritto che la funzione da rappresentare come serie deve essere periodica.
Si e no.
In un primo approcio la risposta è si.
La serie di F. è una somma infinita di sinusoidi con frequenza multipla di una frequenza base detta "fondamentale".
Ovvero
[tex]x(t)= \sum_{n=0}^{+\infty}\ \ a_n \sin(n\omega_0 t + \phi_n)[/tex]
Ora, sommando delle sinusoidi tutte con frequenza multipla di una fondamentale, il segnale che ottieni è a sua volta con frequenza fondamentale.
Da qui il fatto che la serie di F. rappresenta segnali periodici
Se però esegui questa operazione:
[tex]\lim_{w_0 \to 0} \ \sum_{n=0}^{+\infty}\ \ a_n \sin(n\omega_0 t + \phi_n)[/tex]
cioè fai tendere a zero la frequenza fondamentale, ottieni che il periodo:
$T = 1/(\omega_0)$
$lim_{\omega_0 \to 0} T = +oo$
cioè il periodo tende a infinito, ovvero hai un segnale che di fatto è aperiodico, perchè si ripeterà ogni $T$, che tende a $+oo$. Di fatto non si ripete mai.
Questa è però una forma "impropria" della serie di F.
Io, invece, sapevo che non deve necessariamente esserlo, e ho trovato "conferma" su pochissimi siti. Però, nelle formule di calcolo dei coefficienti della serie compare il periodo. Ma se è vera la seconda, qual'è il periodo?
Come detto prima, il periodo diventa "infinito", e la frequenza passa da $n\omega_0, n\in NN$ a $w \in RR$.
Il problema però diventa far convergere l'integrale di F. perchè con segnali di lunghezza infinita, non tutti i segnali fanno convergere l'integrale, anzi, solo pochi lo fanno.
Inoltre, la serie può essere espressa sia in forma trigonometrica che in forma complessa.
Come ogni numero complesso.
Riguardo la sua utilità, ovunque è scritto che è utilizzata per la scomposizione di segnali nella somma di infiniti segnali. In analisi matematica, invece, che utilità ha? E qual'è la sua definizione?
La sua utilità è in ingegneria è ovvia, bisogna però aver studiato elettronica o telecomunicazioni, ad es.
Dovremmo definire cosa si intende per utilità in analisi matematica....non so.
Per la trasformata, invece, sono arrivato a capire che, data una funzione reale di variabile reale, continua o con un numero finito di discontinuità, la sua trasformata di Fourier è una funzione continua e complessa di variabile complessa.
la sua trasformata di Fourier è una funzione continua e complessa di variabile reale
La variabile diventa $\omega \in RR $ , la frequenza, cioè reale.
Altrimenti diventa la trasformata di Laplace (con $\omega \in CC$ ).
Per calcolare la trasformata c'è una formula, e c'è anche una formula per l'antitrasformata. Tuttavia, calcolando l'antitrasformata, non sempre si ottiene la funzione originaria, quindi alle due formule sono stati mutati tre coefficienti tali che $2pi*a_1*a_2=|b|$.
Questa cosa mi è oscura.
Antitrasformando, si ottiene la funzione di partenza.
E questo è tutto ciò che (credo) di aver capito al riguardo.
Beh, è già qualcosa.
Se non altro ti poni il problema di capire se quello che leggi ha senso, cosa che non molti fanno.
Provo a ricapitolare.
Una qualsiasi funzione continua o con un numero finito di discontinuità è esprimibile come serie di Fourier. La funzione può essere periodica o non periodica e, in questo caso, per il calcolo dei coefficienti della serie le viene dato un periodo pari a $+oo$. La serie può essere espressa sia in forma complessa sia in forma trigonometrica. Inoltre, nei punti di continuità la serie converge al valore della funzione di Fourier in quei punti, mentre in quelli di discontinuità converge al valore medio dei limiti da destra e da sinistra della funzione in quei punti.
Riguardo al suo utilizzo in elettronica e telecomunicazioni ne sono a conoscenza, visto che l'ho studiato in passato, ma mi chiedevo, in ambito puramente matematico, per quale motivo sia stata introdotta e che vantaggi porti usare la serie di Fourier anziché la funzione originale.
Data una funzione reale di variabile reale, continua o con un numero finito di discontinuità, la sua trasformata di Fourier è una funzione continua e complessa di variabile reale. Posta la relazione $2π*a_1*a_2=|b|$, la trasformata è $F(x)=a_1int_(-oo)^(+oo) f(x)e^(-itbx)dx$, mentre l'antitrasformata classica è $f(x)=a_2int_(-oo)^(+oo) F(t)e^(itbx)dt$.
Ponendo $a_1=1$, $a_2=1/(2pi)$ e $b=1$ otteniamo la trasformata classica. Tuttavia, non sempre la funzione originale e l'antitrasformata ottenuta con questi coefficienti coincidono.
Una qualsiasi funzione continua o con un numero finito di discontinuità è esprimibile come serie di Fourier. La funzione può essere periodica o non periodica e, in questo caso, per il calcolo dei coefficienti della serie le viene dato un periodo pari a $+oo$. La serie può essere espressa sia in forma complessa sia in forma trigonometrica. Inoltre, nei punti di continuità la serie converge al valore della funzione di Fourier in quei punti, mentre in quelli di discontinuità converge al valore medio dei limiti da destra e da sinistra della funzione in quei punti.
Riguardo al suo utilizzo in elettronica e telecomunicazioni ne sono a conoscenza, visto che l'ho studiato in passato, ma mi chiedevo, in ambito puramente matematico, per quale motivo sia stata introdotta e che vantaggi porti usare la serie di Fourier anziché la funzione originale.
Data una funzione reale di variabile reale, continua o con un numero finito di discontinuità, la sua trasformata di Fourier è una funzione continua e complessa di variabile reale. Posta la relazione $2π*a_1*a_2=|b|$, la trasformata è $F(x)=a_1int_(-oo)^(+oo) f(x)e^(-itbx)dx$, mentre l'antitrasformata classica è $f(x)=a_2int_(-oo)^(+oo) F(t)e^(itbx)dt$.
Ponendo $a_1=1$, $a_2=1/(2pi)$ e $b=1$ otteniamo la trasformata classica. Tuttavia, non sempre la funzione originale e l'antitrasformata ottenuta con questi coefficienti coincidono.
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