Serie di Taylor: raggio di conv. noti i coefficienti
Serie di Taylor: so fare gli sviluppi, e ci mancherebbe, non so invece determinare il raggio di convergenza quando non conosco in modo esplicito la successione dei coefficienti.
So che esso per un noto teorema è pari al Limite per $n$ che diverge di $ |(a_n/a_(n+1))|$ ammesso che esista, spesso però nelle applicazioni è difficile (per me), noti i coefficienti, ricavare una legge generale che ne espliciti la successione.
Ad esempio, questo esercizio, in foto:
http://img812.imageshack.us/img812/9678/867i.jpg
Ho sviluppato singolarmente, ed ho trovato la semplice legge generale delle due funzioni, il prodotto è poi il prodotto delle serie, che non ho voluto scrivere in quanto va a complicarsi ulteriormente, introducendo un'ulteriore successione, ho quindi preferito espandere termine a termine, ed adesso ?
Sono sincero, la legge generale dei coefficienti non la "vedo", conosco i coefficienti singolarmente, posso concludere qualcosa o era preferibile affrontare il sistema da un altro punto di vista ?
Grazie in anticipo
So che esso per un noto teorema è pari al Limite per $n$ che diverge di $ |(a_n/a_(n+1))|$ ammesso che esista, spesso però nelle applicazioni è difficile (per me), noti i coefficienti, ricavare una legge generale che ne espliciti la successione.
Ad esempio, questo esercizio, in foto:
http://img812.imageshack.us/img812/9678/867i.jpg
Ho sviluppato singolarmente, ed ho trovato la semplice legge generale delle due funzioni, il prodotto è poi il prodotto delle serie, che non ho voluto scrivere in quanto va a complicarsi ulteriormente, introducendo un'ulteriore successione, ho quindi preferito espandere termine a termine, ed adesso ?
Sono sincero, la legge generale dei coefficienti non la "vedo", conosco i coefficienti singolarmente, posso concludere qualcosa o era preferibile affrontare il sistema da un altro punto di vista ?
Grazie in anticipo
Risposte
Ripropongo in forma più semplificata questo quesito/esercizio.
Arrivato alla sviluppo termine a termine, non riesco a "raggruppare" i coefficienti identificando una successione che li caratterizzi. Quindi mi chiedo se fosse il modo corretto di procedere o se ci siano delle alternative.
Fare il prodotto alla Cauchy porterebbe a qualche risultato utile ?
Devo solo fare manipolazioni algebriche di qualche tipo sui coefficienti noti ?
Allo stato attuale delle cose posso concludere che la serie ha raggio di convergenza maggiore uguale al più piccolo raggio delle due serie, ciò non mi aiuta nel trovare il raggio complessivo dello sviluppo in serie
Arrivato alla sviluppo termine a termine, non riesco a "raggruppare" i coefficienti identificando una successione che li caratterizzi. Quindi mi chiedo se fosse il modo corretto di procedere o se ci siano delle alternative.
Fare il prodotto alla Cauchy porterebbe a qualche risultato utile ?
Devo solo fare manipolazioni algebriche di qualche tipo sui coefficienti noti ?
Allo stato attuale delle cose posso concludere che la serie ha raggio di convergenza maggiore uguale al più piccolo raggio delle due serie, ciò non mi aiuta nel trovare il raggio complessivo dello sviluppo in serie
Per favore, la prossima volta sforzati di riportare almeno la funzione di cui parli.
Ad ogni modo l'esercizio chiede di sviluppare in serie di Taylor la funzione:
\[
f(z) := e^{z+1} \cos (z-\pi)
\]
con centro dello sviluppo in \(\pi\).
Dato che \(f\) è un prodotto di due fattori:
\[
\begin{split}
f_1(z) &:= e^{z+1}\\
f_2(z) &:= \cos (z-\pi)
\end{split}
\]
ognuno dei quali è una funzione intera, anche \(f\) è una funzione intera e perciò il suo sviluppo di Taylor centrato in \(\pi\) ha certamente raggio di convergenza infinito.
Per determinare lo sviluppo, basta determinare gli sviluppi dei due fattori e poi prenderne la convoluzione.
Dato che, con conti semplicissimi, si trova:
\[
\begin{split}
f_1(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\ (z-\pi)^n \qquad \text{con } a_n &:= \frac{e^{\pi +1}}{n!}\\
f_2(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n\ (z-\pi)^n \qquad \text{con } b_n &:= \begin{cases} \frac{(-1)^{n/2}}{n!} &\text{, se } n \text{ è pari}\\ 0 &\text{, se } n \text{ è dispari} \end{cases}\\
&= \frac{\imath^n + (-\imath)^n}{2\ n!}
\end{split}
\]
si ha:
\[
\begin{split}
f(z) &= f_1(z) f_2(z) \\
&= \left( \sum_{n=0}^\infty a_n\ (z-\pi)^n\right) * \left( \sum_{n=0}^\infty b_n\ (z-\pi)^n\right)\\
&:= \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_{n-k}\ b_k\right)\ (z-\pi)^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n \frac{e^{\pi +1}}{(n-k)!}\ \frac{\imath^k + (-\imath)^k}{2\ k!}\right)\ (z-\pi)^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \underbrace{\frac{e^{\pi +1}}{2}\ \left( \sum_{k=0}^n \frac{\imath^k + (-\imath)^k}{(n-k)!\ k!}\right)}_{=:c_n}\ (z-\pi)^n
\end{split}
\]
e questo è lo sviluppo in serie cercato...
Volendo, i coefficienti \(c_n\) possono essere semplificati un po'. Invero, tenendo presente la definizione del coefficiente binomiale e lo sviluppo del binomio di Newton, si ha:
\[
\begin{split}
c_n &= \frac{e^{\pi +1}}{2}\ \sum_{k=0}^n \frac{\imath^k + (-\imath)^k}{(n-k)!\ k!}\\
&= \frac{e^{\pi +1}}{2}\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{n!}\ \binom{n}{k}\ \left( \imath^k + (-\imath)^k\right)\\
&= \frac{e^{\pi +1}}{2\ n!}\ \left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\ \imath^k + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\ (-\imath)^k\right)\\
&= \frac{e^{\pi +1}}{2\ n!}\ \left( (1+\imath)^n + (1-\imath)^n \right)
\end{split}
\]
cosicché:
\[
f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{\pi +1}}{2\ n!}\ \left( (1+\imath)^n + (1-\imath)^n \right)\ (z-\pi)^n\; .
\]
In alternativa alla convoluzione, potresti tener presente che, per le formule di Eulero, hai:
\[
f_2(z) = \frac{1}{2}\ e^{\imath\ (z-\pi)} + \frac{1}{2}\ e^{-\imath\ (z-\pi)}
\]
cosicché:
\[
f(z) = \frac{1}{2}\ e^{1-\imath\ \pi + (1+\imath) z} + \frac{1}{2}\ e^{1+\imath\ \pi + (1-\imath) z}
\]
e sviluppi in serie con gli esponenziali.
Ad ogni modo l'esercizio chiede di sviluppare in serie di Taylor la funzione:
\[
f(z) := e^{z+1} \cos (z-\pi)
\]
con centro dello sviluppo in \(\pi\).
Dato che \(f\) è un prodotto di due fattori:
\[
\begin{split}
f_1(z) &:= e^{z+1}\\
f_2(z) &:= \cos (z-\pi)
\end{split}
\]
ognuno dei quali è una funzione intera, anche \(f\) è una funzione intera e perciò il suo sviluppo di Taylor centrato in \(\pi\) ha certamente raggio di convergenza infinito.
Per determinare lo sviluppo, basta determinare gli sviluppi dei due fattori e poi prenderne la convoluzione.
Dato che, con conti semplicissimi, si trova:
\[
\begin{split}
f_1(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\ (z-\pi)^n \qquad \text{con } a_n &:= \frac{e^{\pi +1}}{n!}\\
f_2(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n\ (z-\pi)^n \qquad \text{con } b_n &:= \begin{cases} \frac{(-1)^{n/2}}{n!} &\text{, se } n \text{ è pari}\\ 0 &\text{, se } n \text{ è dispari} \end{cases}\\
&= \frac{\imath^n + (-\imath)^n}{2\ n!}
\end{split}
\]
si ha:
\[
\begin{split}
f(z) &= f_1(z) f_2(z) \\
&= \left( \sum_{n=0}^\infty a_n\ (z-\pi)^n\right) * \left( \sum_{n=0}^\infty b_n\ (z-\pi)^n\right)\\
&:= \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_{n-k}\ b_k\right)\ (z-\pi)^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n \frac{e^{\pi +1}}{(n-k)!}\ \frac{\imath^k + (-\imath)^k}{2\ k!}\right)\ (z-\pi)^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \underbrace{\frac{e^{\pi +1}}{2}\ \left( \sum_{k=0}^n \frac{\imath^k + (-\imath)^k}{(n-k)!\ k!}\right)}_{=:c_n}\ (z-\pi)^n
\end{split}
\]
e questo è lo sviluppo in serie cercato...
Volendo, i coefficienti \(c_n\) possono essere semplificati un po'. Invero, tenendo presente la definizione del coefficiente binomiale e lo sviluppo del binomio di Newton, si ha:
\[
\begin{split}
c_n &= \frac{e^{\pi +1}}{2}\ \sum_{k=0}^n \frac{\imath^k + (-\imath)^k}{(n-k)!\ k!}\\
&= \frac{e^{\pi +1}}{2}\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{n!}\ \binom{n}{k}\ \left( \imath^k + (-\imath)^k\right)\\
&= \frac{e^{\pi +1}}{2\ n!}\ \left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\ \imath^k + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\ (-\imath)^k\right)\\
&= \frac{e^{\pi +1}}{2\ n!}\ \left( (1+\imath)^n + (1-\imath)^n \right)
\end{split}
\]
cosicché:
\[
f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{\pi +1}}{2\ n!}\ \left( (1+\imath)^n + (1-\imath)^n \right)\ (z-\pi)^n\; .
\]
In alternativa alla convoluzione, potresti tener presente che, per le formule di Eulero, hai:
\[
f_2(z) = \frac{1}{2}\ e^{\imath\ (z-\pi)} + \frac{1}{2}\ e^{-\imath\ (z-\pi)}
\]
cosicché:
\[
f(z) = \frac{1}{2}\ e^{1-\imath\ \pi + (1+\imath) z} + \frac{1}{2}\ e^{1+\imath\ \pi + (1-\imath) z}
\]
e sviluppi in serie con gli esponenziali.
Ho una soluzione alternativa che evita di passare per il prodotto alla Cauchy. Per prima cosa, trasliamo la funzione ponendo $w=z-\pi$, per cui si ha
$$f(z)=e^{z+1}\cdot\cos(z-\pi)=e^{w+1+\pi}\cos w=F(w)$$
e possiamo determinare lo sviluppo in un intorno dell'origine. Inoltre, è noto che $\cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}$. Pertanto, usando la serie di Taylor della funzione esponenziale $e^t=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}$ possiamo scrivere
$$F(w)=e^{\pi+1}\cdot e^w\cdot\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=\frac{e^{\pi+1}}{2}\left(e^{(1+i)w}+e^{(1-i)w}\right)=\frac{e^{\pi+1}}{2}\cdot\sum_{n=0}^\infty\frac{(1+i)^n+(1-i)^n}{n!} w^n$$
L'unica cosa da fare, a questo punto, è determinare il valore di $a_n=(1+i)^n+(1-i)^n$. A tal fine, possiamo usare la rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi e la formula di de Moivre per trovare
$$1+i=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\alpha+i\sin\alpha),\qquad 1-i=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\alpha-i\sin\alpha),\qquad \alpha=\pi/4$$
da cui, osservando che $(1-i)^n=[\bar{1+i}]^n=\bar[(1+i)]^n$
$$a_n=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\left[\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha)+\cos(n\alpha)-i\sin(n\alpha)\right]=\frac{2}{\sqrt{2^n}}\cos\frac{n\pi}{4}$$
Infine, ricordando che $w=z-\pi$ e sostituendo i valori trovati per $a_n$ si ricava
$$f(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{\pi+1}}{n!\sqrt{2^n}}\cdot\cos\frac{n\pi}{4}\cdot(z-\pi)^n$$
che è la serie cercata. Ovviamente si potrebbe migliorare ancor di più l'espressione, esplicitando quel coseno, ma sostanzialmente il succo dell'esercizio è questo.
EDIT: ho visto solo dopo aver pubblicato l'aggiunta di Gugo! Sorry.
$$f(z)=e^{z+1}\cdot\cos(z-\pi)=e^{w+1+\pi}\cos w=F(w)$$
e possiamo determinare lo sviluppo in un intorno dell'origine. Inoltre, è noto che $\cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}$. Pertanto, usando la serie di Taylor della funzione esponenziale $e^t=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}$ possiamo scrivere
$$F(w)=e^{\pi+1}\cdot e^w\cdot\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=\frac{e^{\pi+1}}{2}\left(e^{(1+i)w}+e^{(1-i)w}\right)=\frac{e^{\pi+1}}{2}\cdot\sum_{n=0}^\infty\frac{(1+i)^n+(1-i)^n}{n!} w^n$$
L'unica cosa da fare, a questo punto, è determinare il valore di $a_n=(1+i)^n+(1-i)^n$. A tal fine, possiamo usare la rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi e la formula di de Moivre per trovare
$$1+i=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\alpha+i\sin\alpha),\qquad 1-i=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\alpha-i\sin\alpha),\qquad \alpha=\pi/4$$
da cui, osservando che $(1-i)^n=[\bar{1+i}]^n=\bar[(1+i)]^n$
$$a_n=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\left[\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha)+\cos(n\alpha)-i\sin(n\alpha)\right]=\frac{2}{\sqrt{2^n}}\cos\frac{n\pi}{4}$$
Infine, ricordando che $w=z-\pi$ e sostituendo i valori trovati per $a_n$ si ricava
$$f(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{\pi+1}}{n!\sqrt{2^n}}\cdot\cos\frac{n\pi}{4}\cdot(z-\pi)^n$$
che è la serie cercata. Ovviamente si potrebbe migliorare ancor di più l'espressione, esplicitando quel coseno, ma sostanzialmente il succo dell'esercizio è questo.
EDIT: ho visto solo dopo aver pubblicato l'aggiunta di Gugo! Sorry.
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