Serie di Taylor in un punto
Salve!
Sto preparando l'esame di metodi matematici e sono incappato in alcuni esercizi riguardanti le serie di Taylor con cui però non ho mai avuto molta dimestichezza.
In sostanza mi viene chiesto di trovare il raggio di convergenza della serie di Taylor di una funzione nel punto $(j+1)/2$
La funzione è \(\displaystyle \frac{exp(jz) } {z^(1/3) } \)\
Avevo pensato di usare lo sviluppo in serie Dell esponenziale, di moltiplicare il risultato per $z^-(1/3) $, di usare il criterio del rapporto per determinare il raggio di convergenza ma ovviamente facendo ciò non ho tenuto conto del punto iniziale della serie (oltre a non trovarmi con il risultato che dovrebbe essere $sqrt(2)/2$.
Come posso svolgere correttamente questo esercizio ?
Scusate se non ho scritto correttamente in latex, ma da cellulare è un po' impegnativo fare tutto in modo esatto
Per qualche motivo non riesco a scrivere che il numeratore della funzione è e^(jz)
Sto preparando l'esame di metodi matematici e sono incappato in alcuni esercizi riguardanti le serie di Taylor con cui però non ho mai avuto molta dimestichezza.
In sostanza mi viene chiesto di trovare il raggio di convergenza della serie di Taylor di una funzione nel punto $(j+1)/2$
La funzione è \(\displaystyle \frac{exp(jz) } {z^(1/3) } \)\
Avevo pensato di usare lo sviluppo in serie Dell esponenziale, di moltiplicare il risultato per $z^-(1/3) $, di usare il criterio del rapporto per determinare il raggio di convergenza ma ovviamente facendo ciò non ho tenuto conto del punto iniziale della serie (oltre a non trovarmi con il risultato che dovrebbe essere $sqrt(2)/2$.
Come posso svolgere correttamente questo esercizio ?
Scusate se non ho scritto correttamente in latex, ma da cellulare è un po' impegnativo fare tutto in modo esatto
Per qualche motivo non riesco a scrivere che il numeratore della funzione è e^(jz)
Risposte
Ponendo $[z_0=1/2+1/2i]$, per determinare lo sviluppo si può procedere così:
$e^(iz)/root(3)(z)=e^(i(z-z_0+z_0))/root(3)(z-z_0+z_0)=e^(iz_0)/root(3)(z_0)e^(i(z-z_0))/root(3)(1+(z-z_0)/z_0)$
Ad ogni modo, il raggio di convergenza è la distanza di $z_0$ dall'origine.
$e^(iz)/root(3)(z)=e^(i(z-z_0+z_0))/root(3)(z-z_0+z_0)=e^(iz_0)/root(3)(z_0)e^(i(z-z_0))/root(3)(1+(z-z_0)/z_0)$
Ad ogni modo, il raggio di convergenza è la distanza di $z_0$ dall'origine.
OK, la mia domanda mi rendo conto solo ora era palesemente stupida e di questo mi scuso 
Comunque ti ringrazio anche per aver risolto l'altro mio dubbio
Comunque ti ringrazio anche per aver risolto l'altro mio dubbio
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