Serie di Taylor e Maclaurin
Ciao, avrei bisogno di una mano.
1) Devo questa funzione in serie di MacLaurin \( f(x)=\frac{5x^3}{3+2x} \) e la sua primitiva che si annulla in x=0, precisando l'intervallo di sviluppabilità!!
Ho trovato che \( f(x)=\frac{5x^3}{3+2x}=\frac{5}{3}\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n \frac{2^n}{3^n}x^{n+3} \) per ogni $ x \in (-3/2,3/2) $ mentre per il secondo punto \( \int_{0}^{x} \frac{5}{3}\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n \frac{2^n}{3^n (n+4)}x^{n+4} \, dx \) per ogni $x \in (-3/2,3/2]$.
Perché è cambiato l'intervallo? Come lo ha notato? Che passaggi avrei dovuto fare?! Anche in altri esercizi ci ho fatto caso ma mi sfugge proprio!
2)In un altro esercizio io ho lo sviluppo in serie di MacLaurin di \( f'(x)=\frac{d}{dx} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n+1}{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n+1}{n}\frac{d}{dx}x^{n}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} (k+2)x^{k}\) per ogni \( x \in (-1,1) \). Devo calcolare la somma della serie \( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+2}{2^n}=f'(-\frac{1}{2})=\frac{d}{dx}(log(1+x)+\frac{x}{1+x})|_{x=-\frac{1}{2}}=6 \)
Ho provato la qualsiasi ma proprio non capisco come nota che è un valore di f'(x), e da dove esce quella derivata della parentesi e quella parentesi.. il nulla cosmico!!
1) Devo questa funzione in serie di MacLaurin \( f(x)=\frac{5x^3}{3+2x} \) e la sua primitiva che si annulla in x=0, precisando l'intervallo di sviluppabilità!!
Ho trovato che \( f(x)=\frac{5x^3}{3+2x}=\frac{5}{3}\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n \frac{2^n}{3^n}x^{n+3} \) per ogni $ x \in (-3/2,3/2) $ mentre per il secondo punto \( \int_{0}^{x} \frac{5}{3}\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n \frac{2^n}{3^n (n+4)}x^{n+4} \, dx \) per ogni $x \in (-3/2,3/2]$.
Perché è cambiato l'intervallo? Come lo ha notato? Che passaggi avrei dovuto fare?! Anche in altri esercizi ci ho fatto caso ma mi sfugge proprio!
2)In un altro esercizio io ho lo sviluppo in serie di MacLaurin di \( f'(x)=\frac{d}{dx} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n+1}{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n+1}{n}\frac{d}{dx}x^{n}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} (k+2)x^{k}\) per ogni \( x \in (-1,1) \). Devo calcolare la somma della serie \( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+2}{2^n}=f'(-\frac{1}{2})=\frac{d}{dx}(log(1+x)+\frac{x}{1+x})|_{x=-\frac{1}{2}}=6 \)
Ho provato la qualsiasi ma proprio non capisco come nota che è un valore di f'(x), e da dove esce quella derivata della parentesi e quella parentesi.. il nulla cosmico!!
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