Serie di taylor-derivata ennesima

[Tes2]

Salve a tutti...
vorrei sapere, come faccio a calcolare la derivata ennesima con lo sviluppo in serie di taylor?
grazie mille

[ciampax]

Dal teorema di Taylor, se [tex]$f\in C^n(I)$[/tex] dove [tex]$I$[/tex] è un intervallo che contiene il punto [tex]$x_0$[/tex] attorno al quale si determina lo sviluppo, allora si ha

[tex]$f(x)=\sum_{k}^n a_k(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)$[/tex]

dove [tex]$a_k=\frac{1}{k!}\cdot\frac{d^k f}{dx^k}(x_0)$[/tex]. Allora le derivate della funzione in [tex]$x_0$[/tex] sono date da

[tex]$\frac{d^k f}{dx^k}(x_0)=k!\cdot a_k$[/tex]

[Raptorista1]

Scusa se mi intrometto, ciampax [tanto lo sai che lo faccio in amicizia ] ma quello che hai scritto non è un tantino tautologico? Mi sembra di vedere scritto una sorta di [tex]0 = 0[/tex].
Piuttosto penso che Tes volesse sapere se si può calcolare al volo la derivata [tex]k[/tex]-esima di una funzione in un determinato punto, senza dover derivare [tex]k[/tex] volte prima.
In tal caso, la risposta è "no", a che io sappia, a meno di casi particolari come l'esponenziale, seni e coseni o altre che hanno le loro particolarità.

[ciampax]

"Raptorista":Scusa se mi intrometto, ciampax [tanto lo sai che lo faccio in amicizia ] ma quello che hai scritto non è un tantino tautologico? Mi sembra di vedere scritto una sorta di [tex]0 = 0[/tex].
Piuttosto penso che Tes volesse sapere se si può calcolare al volo la derivata [tex]k[/tex]-esima di una funzione in un determinato punto, senza dover derivare [tex]k[/tex] volte prima.
In tal caso, la risposta è "no", a che io sappia, a meno di casi particolari come l'esponenziale, seni e coseni o altre che hanno le loro particolarità.

Certo che è tautologico... ma è a quello che servono gli sviluppi di Taylor! Esempio: voglio calcolare in [tex]$x_0=0$[/tex] la derivata decima della funzione [tex]$f(x)=\sin(x^2)-e^{x^5}$[/tex]. Non mi metto certo a fare dieci derivate! Però vedo che

[tex]$f(x)=x^2-\frac{1}{3!} x^6+\frac{1}{5!} x^{10}-\left(1+x^5+\frac{1}{2!} x^{10}\right)+o(x^{10})$[/tex]

ed essendo [tex]$a_{10}=\frac{1}{5!}-\frac{1}{2!}=-\frac{59}{5!}$[/tex] il coefficiente della potenza di grado 10, ottengo [tex]$f^{(10)}(0)=10!\cdot a_{10}=-\frac{10!\cdot 59}{5!}=-1748160$[/tex].

Fidati che la domanda era proprio quella!

[Raptorista1]

Aaaah, ora ho capito
Ovviamente hai ragione, chiedo scusa per l'intrusione

[ciampax]

"Raptorista":Aaaah, ora ho capito
Ovviamente hai ragione, chiedo scusa per l'intrusione

Ma di che ti scusi?

[ededona]

Chiedo scusa, ho lo stesso problema. Ma questo come lo trovi?

"ciampax":[quote="Raptorista"]
[tex]$f(x)=x^2-\frac{1}{3!} x^6+\frac{1}{5!} x^{10}-\left(1+x^5+\frac{1}{2!} x^{10}\right)+o(x^{10})$[/tex]

[/quote]

Ho provato a sviluppare MacLaurin ma non ottengo lo stesso risultato. Sono io che sbaglio? Grazie

[Raptorista1]

Quello è lo sviluppo in serie di MacLaurin di [tex]y=sin(x^) - e^{x^5}[/tex]. L'ho appena ricontrollato ed è corretto.
Scrivi i tuoi calcoli, magari è un errore di conto.

[ededona]

Ho capito, quindi se io ho una funzione [tex]$f(x)=g(x)+h(x)$[/tex] il suo sviluppo sarà [tex]$f(x)=T[g(x)]+T[h(x)]$[/tex] giusto? Così ottengo quel risultato.

Mentre se ho [tex]$f(x)=g(x)h(x)$[/tex] il suo sviluppo sarà [tex]$f(x)=T[g(x)]T[h(x)]$[/tex] ?

[Raptorista1]

Devi considerare anche gli errori, per essere sicura di non andare fuori strada: Lo sviluppo di Taylor fornisce un'uguaglianza tra una funzione [tex]f(x)[/tex] ed il polinomio di Taylor sommato all'errore: [tex]f(x) = T_n(x)+E_{n}(x)[/tex].

[ededona]

Si ok, anche se alla fine per il calcolo della derivata n-esima poco importa l'errore.

Grazie mille per l'aiuto!