Serie di Taylor
Buonasera,
mi è stato proposto questo esercizio:
Si dica se f(x) ammette sviluppo in serie di Taylor in x=0 specificandone l'eventuale dominio di convergenza. In caso affermativo si scriva tale sviluppo in serie.
La f(x) è:
$ f(x)=x^2/e^(3x) $
Non so da dove iniziare! Come posso capire se una funzione ammette sviluppo di Taylor?! Ci sono delle condizioni?! E come individuo (nel caso esso esista) il criterio per scrivere tale sviluppo?!
Grazie anticipatamente.
Buona serata
mi è stato proposto questo esercizio:
Si dica se f(x) ammette sviluppo in serie di Taylor in x=0 specificandone l'eventuale dominio di convergenza. In caso affermativo si scriva tale sviluppo in serie.
La f(x) è:
$ f(x)=x^2/e^(3x) $
Non so da dove iniziare! Come posso capire se una funzione ammette sviluppo di Taylor?! Ci sono delle condizioni?! E come individuo (nel caso esso esista) il criterio per scrivere tale sviluppo?!
Grazie anticipatamente.
Buona serata
Risposte
Affinchè una funzione sia sviluppabile in serie di Taylor deve essere derivabile infinite volte nel punto in esame, nel tuo caso $x=0$.
Ok infatti questa $ f in Coo (cc(R) ) $ ...quindi è condizione necessaria e sufficiente?! e per individuare la serie?!
"Ranius":No, no, attenzione. Questo è falsissimo. Controesempio classico: $f(x)={(e^(-1/(x^2)), x!=0), (0, x=0):}$, funzione di classe $C^infty(RR)$, non nulla, con tutte le derivate nulle in $0$. Se fosse sviluppabile in serie di Taylor di centro l'origine (serie di Mc-Laurin), la propra serie dovrebbe essere $0+0+...$.
Affinchè una funzione sia sviluppabile in serie di Taylor deve essere derivabile infinite volte nel punto in esame, nel tuo caso $x=0$.
Una funzione si dice sviluppabile in serie di Taylor in un punto $x_0$ se essa è di classe $C^infty$ in un intorno di $x_0$ e se vale l'identità
$f(x)=sum_{n=0}^\infty \frac{f^((n))(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ per ogni $x$ in un intorno di $x_0$.
Concretamente, per verificare se una funzione $C^infty$ è sviluppabile intorno ad un punto, si considera l'$n$-esimo polinomio di Taylor e il relativo resto
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+1/(n!)f^((n))(x_0)(x-x_0)^n + R_n(x)$
e si controlla se $R_n(x)\to0$ per ogni $x$ in un intorno di $x_0$. Vanno bene allo scopo la formulazione di Lagrange e quella integrale del resto $n$-esimo.
Scusatemi per aver scritto una fesseria!
@dissonance:
quindi sarebbe corretto affermare che affinchè una funzione sia sviluppabile in serie di Taylor le sue derivate devono essere limitate nell'intorno del punto considerato? Ho fatto questo ragionamento perchè ho pensato che se sono limitate allora $R_n(x)->0$ per ogni $x$ in un intorno di $x_0$.
La condizione che sia derivabile infinite volte è, quindi, solo necessaria e non sufficiente?
Grazie
@dissonance:
quindi sarebbe corretto affermare che affinchè una funzione sia sviluppabile in serie di Taylor le sue derivate devono essere limitate nell'intorno del punto considerato? Ho fatto questo ragionamento perchè ho pensato che se sono limitate allora $R_n(x)->0$ per ogni $x$ in un intorno di $x_0$.
La condizione che sia derivabile infinite volte è, quindi, solo necessaria e non sufficiente?
Grazie
La condizione che $f$ sia derivabile infinite volte è solo necessaria e non sufficiente, si. Poi hai visto giusto pensando ad una stima delle derivate, infatti una condizione sufficiente affinché una funzione $C^infty$ sia sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di $x_0$ è che esistano $M, L>0$ tali che
$|f^((n))(x)|<=ML^n \quad \forall x\in(a, b)$, dove $(a, b)$ è un intorno di $x_0$.
Ovvero, se le derivate di $f$ crescono al più esponenzialmente, $f$ è sviluppabile. ([size=75]Si può dare una versione più precisa di questo risultato che, unita alla condizione $f \in C^infty$, è condizione necessaria e sufficiente alla sviluppabilità. Ma si entra nell'ambito dell'analisi complessa.[/size]).
La dimostrazione va più o meno così. Usiamo la formulazione di Lagrange per il resto $n$ esimo:
$R_n(x)=1/((n+1)!)f^((n+1))(xi)(x-x_0)^(n+1)$.
Dalla disuguaglianza dell'ipotesi ricaviamo che $|R_n(x)|<=(ML^(n+1))/((n+1)!)|x-x_0|^(n+1)$; verifichiamo allora che $((L|x-x_0|)^(n+1))/((n+1)!)\to0$ quando $n\to infty$ per ogni $x\in(a, b)$ (e in realtà per ogni $x$ reale).
Qui usiamo un trucco (vedi qui): consideriamo la serie $sum ((L|x-x_0|)^(n+1))/((n+1)!)$ e mostriamo che essa converge per ogni $x$ applicando il criterio del rapporto. I conti sono piuttosto semplici.
Questo dimostra che $|R_n(x)|\to0$ per ogni $x\in(a, b)$, e dunque $f$ è sviluppabile in serie di potenze di centro $x_0$.
$|f^((n))(x)|<=ML^n \quad \forall x\in(a, b)$, dove $(a, b)$ è un intorno di $x_0$.
Ovvero, se le derivate di $f$ crescono al più esponenzialmente, $f$ è sviluppabile. ([size=75]Si può dare una versione più precisa di questo risultato che, unita alla condizione $f \in C^infty$, è condizione necessaria e sufficiente alla sviluppabilità. Ma si entra nell'ambito dell'analisi complessa.[/size]).
La dimostrazione va più o meno così. Usiamo la formulazione di Lagrange per il resto $n$ esimo:
$R_n(x)=1/((n+1)!)f^((n+1))(xi)(x-x_0)^(n+1)$.
Dalla disuguaglianza dell'ipotesi ricaviamo che $|R_n(x)|<=(ML^(n+1))/((n+1)!)|x-x_0|^(n+1)$; verifichiamo allora che $((L|x-x_0|)^(n+1))/((n+1)!)\to0$ quando $n\to infty$ per ogni $x\in(a, b)$ (e in realtà per ogni $x$ reale).
Qui usiamo un trucco (vedi qui): consideriamo la serie $sum ((L|x-x_0|)^(n+1))/((n+1)!)$ e mostriamo che essa converge per ogni $x$ applicando il criterio del rapporto. I conti sono piuttosto semplici.
Questo dimostra che $|R_n(x)|\to0$ per ogni $x\in(a, b)$, e dunque $f$ è sviluppabile in serie di potenze di centro $x_0$.
grazie.
sei stato chiarissimo e mi hai tolto parecchi dubbi!
sei stato chiarissimo e mi hai tolto parecchi dubbi!
"dissonance":
Controesempio classico: $f(x)={(e^(-1/(x^2)), x!=0), (0, x=0):}$, funzione di classe $C^infty(RR)$, non nulla, con tutte le derivate nulle in $0$. Se fosse sviluppabile in serie di Taylor di centro l'origine (serie di Mc-Laurin), la propra serie dovrebbe essere $0+0+...$.
@dissonance: potresti per favore farmi vedere il controesempio che hai citato?
non che tu non sia stato chiaro nella dimostrazione, ma se non sbaglio, io posso prendere per ogni sviluppo in serie di taylor il resto in forma di LaGrange $R_n(x)=1/(n+1)!f^((n+1))(xi)(x-xo)^(n+1)$, quindi lo potrei prendere anche della funzione di cui parlavi; facendo il limite del resto, oppure prendendolo come serie e usando il criterio del rapporto, vedo che anche in questo caso esso tende a 0.
perchè quindi la funzione non dovrebbe essere sviluppabile in serie di taylor?
No, il resto non tende a $0$, qui ti sbagli. Sarai d'accordo che $f!=0$, nel senso che $f$ non è la funzione identicamente nulla. Nonostante questo tutte le derivate di $f$ si annullano in $0$. Quindi tutti i termini dello sviluppo in serie di Taylor sono nulli. Ma allora, se $f$ fosse sviluppabile, avremmo che
$f(x)=0+0+...+0+...=0$ per ogni $x$ in un intorno di $0$.
Questa contraddizione nasce dall'aver supposto $f$ sviluppabile in serie di Taylor di centro l'origine.
Prova a consultare la pagina di Wikipedia, parla proprio di questo esempio.
$f(x)=0+0+...+0+...=0$ per ogni $x$ in un intorno di $0$.
Questa contraddizione nasce dall'aver supposto $f$ sviluppabile in serie di Taylor di centro l'origine.
Prova a consultare la pagina di Wikipedia, parla proprio di questo esempio.
più chiaro di così si muore...
grazie mille..
grazie mille..
"dissonance":Ma ML cosa sono, scusa l'ignoranza.
La condizione che $f$ sia derivabile infinite volte è solo necessaria e non sufficiente, si. Poi hai visto giusto pensando ad una stima delle derivate, infatti una condizione sufficiente affinché una funzione $C^infty$ sia sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di $x_0$ è che esistano $M, L>0$
Due costanti positive.
"dissonance":
Due costanti positive.
Uh grazie mille
"dissonance":
Due costanti positive.
Scusa se ti disturbo ancora Dissonance, ma non riesco ad entrare molto nel concetto, per caso hai qualche link dove viene svolto un esercizio?
Questa proposizione l'ho tratta dal libro di Analisi 2 di Marcellini-Sbordone-Fusco, cap. 1 par. 7. Un po' di materiale semplice c'è sul sito http://www.batmath.it/matematica/matematica.htm , specialmente a
http://www.batmath.it/matematica/a_taylor/taylor.htm
e anche a
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... approx.htm
Non è proprio quello che ti serve ma spero ti sia utile lo stesso.
http://www.batmath.it/matematica/a_taylor/taylor.htm
e anche a
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... approx.htm
Non è proprio quello che ti serve ma spero ti sia utile lo stesso.
"dissonance":
Questa proposizione l'ho tratta dal libro di Analisi 2 di Marcellini-Sbordone-Fusco, cap. 1 par. 7. Un po' di materiale semplice c'è sul sito http://www.batmath.it/matematica/matematica.htm , specialmente a
http://www.batmath.it/matematica/a_taylor/taylor.htm
e anche a
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... approx.htm
Non è proprio quello che ti serve ma spero ti sia utile lo stesso.
Ma quindi fammi capire una cosa maestro, se io dovessi risolvere, in un compito, l'esercizio che ha postato l'utente dovrei fare i seguenti passi?
1-Dimostrare che la funzione è continua in C infinito
2-Spiegare la tua tesi e dimostrazione che è sempre vera per ogni funzione continua in C infinito e scrivibile nella serie di Taylor
3-Una volta spiegata basta sviluppare la serie di Taylor-macLauren per xo->0 con la funzione iniziale?
Sono propprio una zucca
"Mattia Beast":Ti prego!
fammi capire una cosa maestro
Sono solo uno studente, ma se anche fossi rettore di dieci Atenei non gradirei essere titolato così!se io dovessi risolvere, in un compito, l'esercizio che ha postato l'utente dovrei fare i seguenti passi?"Continua in C infinito" non significa niente. Per prima cosa devi dimostrare che la funzione appartiene all'insieme $C^infty(I)$, dove $I$ è un intorno di $x_0$. (Si usa dire: la funzione è di classe $C^infty$, ma è solo una abbreviazione per quanto ho scritto prima). I passi da seguire, se vuoi usare la proposizione di sopra, sono quindi:
1-Dimostrare che la funzione è continua in C infinito
2-Spiegare la tua tesi e dimostrazione che è sempre vera per ogni funzione continua in C infinito e scrivibile nella serie di Taylor
3-Una volta spiegata basta sviluppare la serie di Taylor-macLauren per xo->0 con la funzione iniziale?
Sono propprio una zucca
1) dimostrare che la funzione appartiene a $C^infty(I)$ per un $I$ intorno di $x_0$;
2) calcolare esplicitamente tutte le derivate $f^((n))(x), \forall x \in I$ (qui ti devi ingegnare un po' perché non c'è un procedimento standard);
3) verificare che la successione di funzioni $|f^((n))(x)|$ cresce al più esponenzialmente in $I$.
A questo punto puoi dire che
$f(x)=sum_{n=0}^infty1/(n!)f^((n))(x_0)(x-x_0)^n\quad \forall x \in I$
ovvero $f$ è sviluppabile in serie di Taylor di centro $x_0$.
NOTA: Questo è un metodo. Come tutti i metodi, esso non è sempre applicabile, in particolare il punto 2) può rappresentare un problema.
"dissonance":
1) dimostrare che la funzione appartiene a $C^infty(I)$ per un $I$ intorno di $x_0$;
2) calcolare esplicitamente tutte le derivate[color] $f^((n))(x), \forall x \in I$ (qui ti devi ingegnare un po' perché non c'è un procedimento standard);
3) verificare che la successione di funzioni $|f^((n))(x)|$ cresce al più esponenzialmente in $I$.
NOTA: Questo è un metodo. Come tutti i metodi, esso non è sempre applicabile, in particolare il punto 2) può rappresentare un problema.[color]
Beh, diciamo pure che nel 99,9% dei casi il punto 2) è un problema bello grosso. Anzi, direi che sono casi MOLTO particolari le funzioni in cui si riescono a calcolare tutte le derivate fino alla n-esima.
Ecco, in questi casi ho delle alternative, oppure devo cercare di vedere almeno l'andamento di alcune derivate in modo da poter concludere che $sum_(i = 0)^(n)1/(i!)f^((i))(x_0)(x-x_0)^(i)$ per $ntooo$ si comporta in una certa maniera?
Una possibilità è cercare di sfruttare degli sviluppi noti e i teoremi di derivazione e integrazione per serie. Ti faccio un esempio:
Vogliamo sviluppare in serie di potenze la $f(x)=arctan(x)$. E' complicato, quindi deriviamo:
$f'(x)=1/(1+x^2)$. Questa funzione è sviluppabile in serie di potenze di centro $0$, perché la possiamo esprimere direttamente come somma di una serie geometrica :
$f'(x)=1/(1+x^2)=1/(1-(-x^2))$ che, per $|-x^2|<1$, è uguale a $sum_{n=0}^infty (-1)^n x^(2n)$.
Abbiamo mostrato che $f'(x)$ coincide con la somma di una serie di potenze in tutto un intorno di $0$, precisamente $(-1, 1)$, quindi dal teorema di unicità della serie di Taylor consegue che la serie di potenze è la serie di Taylor di $f'(x)$ e che $f'$ è sviluppabile di centro $0$.
Un altro teorema essenziale sulle serie di potenze è quello di integrazione termine a termine, che applichiamo:
$f(x)=int_0^xf'(t)"d"t= int_0^x sum_{n=0}^infty (-1)^n t^(2n) "d"t= $
$=sum_{n=0}^infty int_0^x (-1)^n t^(2n)"d"t=sum_{n=0}^infty(-1)^n\frac{x^(2n+1)}{2n+1}$, e lo sviluppo è valido almeno $\forall x \in (-1, 1)$, a te verificare che questo è effettivamente il più grande intervallo di convergenza.
Chiaro? In sostanza: derivi -> usi sviluppi noti-> integri.
Se vuoi esercitarti su questo metodo, prova ad applicarlo per sviluppare in serie di Taylor di centro $0$ la funzione $log(1+x)$.
Vogliamo sviluppare in serie di potenze la $f(x)=arctan(x)$. E' complicato, quindi deriviamo:
$f'(x)=1/(1+x^2)$. Questa funzione è sviluppabile in serie di potenze di centro $0$, perché la possiamo esprimere direttamente come somma di una serie geometrica :
$f'(x)=1/(1+x^2)=1/(1-(-x^2))$ che, per $|-x^2|<1$, è uguale a $sum_{n=0}^infty (-1)^n x^(2n)$.
Abbiamo mostrato che $f'(x)$ coincide con la somma di una serie di potenze in tutto un intorno di $0$, precisamente $(-1, 1)$, quindi dal teorema di unicità della serie di Taylor consegue che la serie di potenze è la serie di Taylor di $f'(x)$ e che $f'$ è sviluppabile di centro $0$.
Un altro teorema essenziale sulle serie di potenze è quello di integrazione termine a termine, che applichiamo:
$f(x)=int_0^xf'(t)"d"t= int_0^x sum_{n=0}^infty (-1)^n t^(2n) "d"t= $
$=sum_{n=0}^infty int_0^x (-1)^n t^(2n)"d"t=sum_{n=0}^infty(-1)^n\frac{x^(2n+1)}{2n+1}$, e lo sviluppo è valido almeno $\forall x \in (-1, 1)$, a te verificare che questo è effettivamente il più grande intervallo di convergenza.
Chiaro? In sostanza: derivi -> usi sviluppi noti-> integri.
Se vuoi esercitarti su questo metodo, prova ad applicarlo per sviluppare in serie di Taylor di centro $0$ la funzione $log(1+x)$.
Si si, in effetti il metodo è geniale... con il logaritmo viene proprio lo sviluppo di taylor.
Così per fare un test, ho provato anche con la funzione $f(x)=1/(1+2x^2)$; e scrivendola subito (senza derivare e poi integrare) come serie di potenze viene $sum_(n=0)^(oo)(-2)^nx^(2n)$, che è proprio il suo sviluppo in serie di Taylor (o almeno è lo stesso che mi da derive
).
E' un caso oppure il fatto di derivare e poi integrare serve solo quando la funzione e troppo complicata per scriverla subito in serie?
Così per fare un test, ho provato anche con la funzione $f(x)=1/(1+2x^2)$; e scrivendola subito (senza derivare e poi integrare) come serie di potenze viene $sum_(n=0)^(oo)(-2)^nx^(2n)$, che è proprio il suo sviluppo in serie di Taylor (o almeno è lo stesso che mi da derive
).E' un caso oppure il fatto di derivare e poi integrare serve solo quando la funzione e troppo complicata per scriverla subito in serie?
Esatto, hai fatto bene. Per la $f(x)=1/(1+2x^2)$ puoi ricondurti subito ad uno sviluppo noto, quindi non è necessario fare giravolte con integrali e derivate. Sai dire qual è l'intervallo di convergenza della serie di potenze che hai trovato? Non trascurare questa informazione, che è importante.
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