Serie di Taylor

[nikopi2]

Buonasera,
mi è stato proposto questo esercizio:
Si dica se f(x) ammette sviluppo in serie di Taylor in x=0 specificandone l'eventuale dominio di convergenza. In caso affermativo si scriva tale sviluppo in serie.
La f(x) è:

$ f(x)=x^2/e^(3x) $

Non so da dove iniziare! Come posso capire se una funzione ammette sviluppo di Taylor?! Ci sono delle condizioni?! E come individuo (nel caso esso esista) il criterio per scrivere tale sviluppo?!

Grazie anticipatamente.
Buona serata

[Legico]

beh, so che la ragione della serie di potenze è $-2x^2$, quindi basta vedere quando $|-2x^2|<1
In particolare risulta $sqrt(1/2)>x>sqrt(-(1/2))$, ma non essendo accettabile la soluzione di destra l'intervallo di convergenza è $0

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[dissonance]

Nooo!!! Quali sono le soluzioni di $|-2x^2|<1$? Suggerimento:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=0; ymax=1;axes(0.5, 1, "label"); stroke="red"; plot("1"); stroke="black"; plot("2x^2");[/asvg]

[Legico]

la parte di parabola sottesa dalla retta, ovvero $-sqrt(1/2)

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[dissonance]

Esatto. Puoi verificare a mano che la serie di potenze converge in $-sqrt(2)/2$ e non converge in $sqrt(2)/2$. Lo sviluppo in serie da te trovato non converge fuori dall'intervallo $[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$. Nota che, nonostante questo, la funzione sviluppata è definita e regolare ovunque! Ma non puoi esprimerla con quello sviluppo al difuori dell'intervallo detto [size=75](*)[/size]. Tieni sempre presente questa informazione che è importante, e ti può benissimo essere richiesta ad un esame.
______________________________
[size=75](*)[/size] Il motivo di questo fenomeno non si può spiegare senza uscire dall'ambito dei numeri reali, ed è stato uno dei principali motori che hanno portato allo sviluppo dell'analisi complessa. Se vuoi approfondire questo argomento ti consiglio una sbirciatina al libro di Needham Visual complex analysis, cap. 2 par. III: The Mystery of Real Power Series.

[Legico]

ok, quello è l'intervallo di convergenza della serie. Ma perchè la funzione sia sviluppabile in serie di Mac Laurin è necessario che $finC^(oo)$ e che la serie di Taylor converga in un intorno di 0. Sbaglio o è proprio quello che ho trovato?
Insomma, posso concludere che la funzione e sviluppabile in serie di Taylor con centro 0, e che lo sviluppo è $sum_(n=0)^(oo)(-2)^nx^(2n)$?

[dissonance]

Certo. Specificavo che non bisogna trascurare l'intervallo di convergenza, tutto qua.

[Legico]

"dissonance":Certo. Specificavo che non bisogna trascurare l'intervallo di convergenza, tutto qua.

Ovviamente hai ragione. L'intervallo serve per dimostrare la mia tesi.
Penso proprio che per me queste pagine valgano più dell'oro al momento..

Senti, già che ci sono sfrutto ancora un po' il tuo sapere:
per la serie che aveva postato all'inizio nikopi2, $f(x)=x^2e(-3x)$, io ho provato a usare lo stesso metodo e sono arrivato a definire $f(x)$ come $e^(2ln(x)-3x)$, ora dovrei portarla in forma di qualche sviluppo noto per poter usare il ragionamento di prima sulla convergenza, e poi per scrivere lo sviluppo di Mac Laurin, ma mi sono bloccato...

[Legico]

la sintassi corretta è $f(x)=x^2e^(-3x)$ scusami

[dissonance]

Mmmh... Scrivere $f(x)=e^(2logx -3x)$ non ti aiuterà, anche se l'idea era buona. Devi sviluppare intorno a $0$, come farai con quel $log$? Ti ritroveresti un $log 0$ che non è definito. Prova invece a sfruttare lo sviluppo $e^y=sum_{n=0}^infty\frac{y^n}{n!}$, che è valido per ogni $y \in RR$. Che succede per $y=-3x$?

[Legico]

eh, ma se uso lo sviluppo di e, poi $x^2$ glielo metto tranquillamente dentro alla serie?

[Legico]

In termini pratici verrebbe $sum_(n=0)^(oo)x^2((-3x)^n/(n!)) = sum_(n=0)^(oo)(-3)^n(x^(n+2)/(n!))$

[dissonance]

Esatto. [size=75] Volendo puoi rinumerare gli indici in modo da avere $sum_{n=2}^infty(-3)^(n-2)/((n-2)!)x^n$[/size].

Questa operazione è corretta perché è vera per ogni somma parziale:

$x^2sum_{n=0}^N \frac{(-3x)^n}{n!}=sum_{n=0}^N \frac{(-3)^n(x)^(n+2)}{n!}$ (questa è una somma finita, non hai nessun problema);

e, per $N\to infty$, il membro destro di questa identità converge per ogni $x \inRR$, perché questo è il comportamento del membro sinistro. Perciò questa identità si prolunga al limite, diventando

$x^2e^(-3x)=x^2sum_{n=0}^infty \frac{(-3x)^n}{n!}=sum_{n=0}^infty \frac{(-3)^n(x)^(n+2)}{n!}$;

per il solito teorema sull'unicità della serie di Taylor, hai trovato in un colpo solo che la funzione è sviluppabile e che la propria serie di Taylor converge per ogni $x\inRR$.

Ti segnalo una cosa. Con le serie di potenze ci stiamo permettendo il lusso di fermare le nostre considerazioni alla sola convergenza puntuale. Questo perché abbiamo alle spalle dei teoremi a garantirci convergenza uniforme sugli intervalli compatti contenuti nell'intervallo di convergenza. Con serie di funzioni arbitrarie le cose non sono così semplici, e in generale la convergenza puntuale non implica quella uniforme.

[Legico]

"dissonance":Esatto. Volendo puoi rinumerare gli indici in modo da avere $sum_{n=2}^infty(-3)^n/((n-2)!)x^n$.

non sarebbe $sum_{n=2}^infty(-3)^(n-2)/((n-2)!)x^n$??

Questa operazione è corretta perché è vera per ogni somma parziale:
$x^2sum_{n=0}^N \frac{(-3x)^n}{n!}=sum_{n=0}^N \frac{(-3x)^(n+2)}{n!}$ (questa è una somma finita, non hai nessun problema);

in questo passaggio sinceramente mi sono perso...
se vuoi portare fuori un $x^2$ non dovrebbe rimanerti un $x^(n-2)$ dentro alla somma??

Ti segnalo una cosa. Con le serie di potenze ci stiamo permettendo il lusso di fermare le nostre considerazioni alla sola convergenza puntuale. Questo perché abbiamo alle spalle dei teoremi a garantirci convergenza uniforme sugli intervalli compatti contenuti nell'intervallo di convergenza. Con serie di funzioni arbitrarie le cose non sono così semplici, e in generale la convergenza puntuale non implica quella uniforme.

Però, anche non implicando quella uniforme, la convergenza puntuale è condizione sufficiente per la sviluppabilità secondo Taylor, giusto?
Cioè, la convergenza uniforme la uso solo per studiare il carattere della serie...

[dissonance]

I conti nel mio post precedente sono tutti sbagliati! Pardon. Più tardi correggo.

Però, anche non implicando quella uniforme, la convergenza puntuale è condizione sufficiente per la sviluppabilità secondo Taylor, giusto?
Cioè, la convergenza uniforme la uso solo per studiare il carattere della serie...

Si, proprio questo dicevo. Nelle serie di Taylor ti basta studiare la convergenza puntuale. In generale il discorso è più complicato.

[Legico]

ok ok, allora no problem.
attendo ulteriori aggirnamenti...

[Legico]

Alla fine dei miei calcoli la funzione in serie di nikopi2 viene:
$sum_(n=0)^(oo)(-3)^n(x^(n+2)/(n!)) = x^2-3x^3+.....$

però ora dovrei trovare un intorno di 0 in cui questa serie converge....

ora ho visto che applicando la convergenza assoluta e poi il criterio del rapporto la serie converge $forallx inRR$.
Posso dire che, dato questo risultato, la funzione è sviluppabile in serie di Mac Laurin perchè posso prendere qualsiasi intorno di 0 t.c. la seire converge?

[dissonance]

No, o meglio, sì ma ti devi esprimere correttamente. Puoi dire che la funzione è sviluppabile in serie di Mac Laurin con raggio di convergenza $infty$, questa è la maniera migliore di esprimersi secondo me.

[Legico]

Ok, capito.
Cmq la mia domanda resta valida: è il modo giusto di procedere per trovare un intorno in modo che la mia funzione sia sviluppabile?

(Almeno dove non ho un intervallo di convergenza che sia un intorno di 0)

[dissonance]

Si, è un modo giusto. Attenzione: gli intervalli di convergenza sono sempre intorni del centro dello sviluppo, in questo caso $0$.

Comunque, riconducendoti a sviluppi noti, in genere puoi dire da subito dove converge lo sviluppo; il criterio del rapporto tienitelo come ultima spiaggia se ti trovi nel dubbio.

Prendiamo un esempio più facile per favore, così posso evitare di fare conti: $x/(e^x)$. Siccome

$e^(-x)=sum_{n=0}^infty (-1)^n(x^n)/(n!)$, per ogni $x \in RR$,

applicando il ragionamento di sopra otteniamo

$x/e^(x)=sum_{n=0}^infty (-1)^n(x^{n+1})/(n!)$ per ogni $x \in RR$.

Lo sviluppo converge per ogni $x\inRR$, ovvero la funzione è sviluppabile in serie di Mac Laurin con raggio di convergenza $infty$.
_________________________________
Altro esempio, sempre da sviluppare intorno a $0$: $1/(x-1)$. Lo possiamo riscrivere come $-1/(1-x)$ e quindi come somma di una serie geometrica

$1/(x-1)=-sum_{n=0}^inftyx^n$, per ogni $x \in [-1, 1)$. Quindi la funzione è sviluppabile in serie di Mac Laurin, e sai anche il raggio di convergenza perché la serie geometrica non converge per $|x|>=1$. Quindi senza fare conti concludi che il raggio di convergenza dello sviluppo è $1$.

[Legico]

Non posso fare altro che approvare e ringraziarti per i preziosi consigli...