SERIE di POTENZE e LORO SOMMA
Buongiorno a tutti e buona pasquetta!
Si avvicina aprile e si avvicina la sessione intermedia per provare a portare a casa qualche esame!!
Vi scrivo perché sto preparando ANALISI MATEAMTICA 3 e sto incontrando spesso questo tipo di esercizi e non so come svolgerli, mi potete dare una mando?
i) Determinare i coefficienti $ { a _n }$, $ n>=0 $ t.c. valga questa uguaglianza.
(*) $ sum_(n =0) (a_n (3-x)^n ) = 1/(x-1) $
ii) Determinare tutti gli x appartententi ad R in cui valga (*)
il problema è soprattutto nel punto i)
Aiutatemi PLEASE
Si avvicina aprile e si avvicina la sessione intermedia per provare a portare a casa qualche esame!!
Vi scrivo perché sto preparando ANALISI MATEAMTICA 3 e sto incontrando spesso questo tipo di esercizi e non so come svolgerli, mi potete dare una mando?
i) Determinare i coefficienti $ { a _n }$, $ n>=0 $ t.c. valga questa uguaglianza.
(*) $ sum_(n =0) (a_n (3-x)^n ) = 1/(x-1) $
ii) Determinare tutti gli x appartententi ad R in cui valga (*)
il problema è soprattutto nel punto i)
Aiutatemi PLEASE
Risposte
Supponiamo che io voglia sapere i coefficienti del polinomio $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n$, per trovare $a_0$ basta valutare $p(x)$ in $x=0$, derivando la prima volta otteniamo $p'(x)=a_1+2a_2x+\cdots +na_nx^{n-1}$ per trovare $a_1$ calcoliamo $p'(0)$ e così via...
Oss. In generale abbiamo che:
$a_k=\frac{p^{(k)}(0)}{k!}$
Usa questo procedimento con il problema i)
Oss. In generale abbiamo che:
$a_k=\frac{p^{(k)}(0)}{k!}$
Usa questo procedimento con il problema i)
Grazie dan95, ti rispondo con lo smartphone perché sono fuori.. quello che non capisco: nel problema specifico, fino a che grado dovrei fermarmi? Posso chiedervi uno svolgimento completo con i passaggi?
Osserva che
$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(3-x)^n= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n (x-3)^n$
Se ci fai caso questa è una serie di potenze centrata in $x_0=3$ e con coefficiente $b_n= (-1)^n a_n$.
A questo punto scrivi lo sviluppo in serie di Taylor della funzione $f(x)=\frac{1}{x-1}$ centrato in $x_0=3$. Fatti furbo
Riscrivi la funzione f(x) in questo modo:
\begin{split}f(x)= \frac{1}{x-1}&=\frac{1}{x-3+3-1}=\\ &=\frac{1}{(x-3)+2}\\ &=\frac{1}{2(1+(\frac{x-3}{2}))}\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-[-(\frac{x-3}{2})]}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (\frac{x-3}{2})^n\\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-3)^n\end{split}
Uguagliando $(-1)^n a_n$ con i coefficienti della serie appena scritta otterrai la relazione che le lega:
$a_n= \frac{1}{2^{n+1}}$
$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(3-x)^n= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n (x-3)^n$
Se ci fai caso questa è una serie di potenze centrata in $x_0=3$ e con coefficiente $b_n= (-1)^n a_n$.
A questo punto scrivi lo sviluppo in serie di Taylor della funzione $f(x)=\frac{1}{x-1}$ centrato in $x_0=3$. Fatti furbo
Riscrivi la funzione f(x) in questo modo:
\begin{split}f(x)= \frac{1}{x-1}&=\frac{1}{x-3+3-1}=\\ &=\frac{1}{(x-3)+2}\\ &=\frac{1}{2(1+(\frac{x-3}{2}))}\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-[-(\frac{x-3}{2})]}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (\frac{x-3}{2})^n\\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-3)^n\end{split}
Uguagliando $(-1)^n a_n$ con i coefficienti della serie appena scritta otterrai la relazione che le lega:
$a_n= \frac{1}{2^{n+1}}$
"Mathita":
Osserva che
$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(3-x)^n= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n (x-3)^n$
Se ci fai caso questa è una serie di potenze centrata in $x_0=3$ e con coefficiente $b_n= (-1)^n a_n$.
A questo punto scrivi lo sviluppo in serie di Taylor della funzione $f(x)=\frac{1}{x-1}$ centrato in $x_0=3$. Fatti furbo
Riscrivi la funzione f(x) in questo modo:
\begin{split}f(x)= \frac{1}{x-1}&=\frac{1}{x-3+3-1}=\\ &=\frac{1}{(x-3)+2}\\ &=\frac{1}{2(1+(\frac{x-3}{2}))}\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-[-(\frac{x-3}{2})]}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (\frac{x-3}{2})^n\\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-3)^n\end{split}
Uguagliando $(-1)^n a_n$ con i coefficienti della serie appena scritta otterrai la relazione che le lega:
$a_n= \frac{1}{2^{n+1}}$
una domanda: per la considerazione del punto ii) cosa devo guardare di preciso?
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