Serie di potenze: convergenza totale, uniforme, semplice
Devo determinare gli insiemi di convergenza uniforme , totale, semplice, assoluta della seguente serie:
$\sum_{n=1}^\infty n^3 e^(-n x)$
Ora questa non è altro che una serie di potenze camuffata.
$\sum_{n=1}^\infty n^3 (1/(e^x))^n $
Pongo $t= |1/(e^x)|$, calcolo il raggio di convergenza della serie
$\sum_{n=1}^\infty n^3 t^n $
che viene $R=1$
La serie converge assolutamente per ogni $t$ tale che $|t|<1=> |1/(e^x)|<1$ ma $1/(e^x)$ è positivo per ogni $x$ quindi il valore assoluto è inutile, pertanto:
$1/(e^x)<1=> e^x>1 => x>0 $
Per $x=0$ la serie non converge perchè viene meno la condizione necessaria per convergenza, infatti $n^3$ non è infinitesimo.
L'intervallo di convergenza quindi è $C={x\in \RR: x>0}= (0, \infty)$
Controllate per favore le seguenti asserzioni:
Si ha quindi
1. Convergenza totale in ogni chiuso e limitato $[a,b]$ con $0
3. Convergenza assoluta in $C$ in quanto la serie è a termini positivi.
Vanno bene oppure devo spiegare meglio?
$\sum_{n=1}^\infty n^3 e^(-n x)$
Ora questa non è altro che una serie di potenze camuffata.
$\sum_{n=1}^\infty n^3 (1/(e^x))^n $
Pongo $t= |1/(e^x)|$, calcolo il raggio di convergenza della serie
$\sum_{n=1}^\infty n^3 t^n $
che viene $R=1$
La serie converge assolutamente per ogni $t$ tale che $|t|<1=> |1/(e^x)|<1$ ma $1/(e^x)$ è positivo per ogni $x$ quindi il valore assoluto è inutile, pertanto:
$1/(e^x)<1=> e^x>1 => x>0 $
Per $x=0$ la serie non converge perchè viene meno la condizione necessaria per convergenza, infatti $n^3$ non è infinitesimo.
L'intervallo di convergenza quindi è $C={x\in \RR: x>0}= (0, \infty)$
Controllate per favore le seguenti asserzioni:
Si ha quindi
1. Convergenza totale in ogni chiuso e limitato $[a,b]$ con $0
3. Convergenza assoluta in $C$ in quanto la serie è a termini positivi.
Vanno bene oppure devo spiegare meglio?
Risposte
Va benissimo, secondo me.
Se spiegassi un po' come viene fuori la convergenza totale sarebbe anche meglio
Un piccolo appunto: non vedo perchè mettere il valore assoluto quando fai la sostituzione per ricondurti ad una s.d.p.; non c'è bisogno...
Bonus per l'impegno: la somma della serie è $1/8 (2+coshx)/(sinh^4(x/2))$.
Se spiegassi un po' come viene fuori la convergenza totale sarebbe anche meglio
Un piccolo appunto: non vedo perchè mettere il valore assoluto quando fai la sostituzione per ricondurti ad una s.d.p.; non c'è bisogno...
Bonus per l'impegno: la somma della serie è $1/8 (2+coshx)/(sinh^4(x/2))$.
Ops, ho commesso un errore durante la trascrizione. Effettivamente è inutile porre $t= |1/(e^x)|$ e poi valutare $|t|$.
Comunque per scrivere il punto 1, mi sono appoggiato a un teorema fatto sulle serie di potenze. Mi consigli di trovare una successione ${M_n}_{n\in NN}$ tale che
$n^3 (1/(e^x))^n<= M_n$ e verificare cosa fa la serie $\sum M_n$?
Posso affermare che, preso un intervallo $[a,b] \subset C$, $M_n= n^3 (1/(e^a))^n$? Mi studio la serie degli $M_n$ e poi ho concluso, giusto?
[Scusa il ritardo ma sono lentissimo a scrivere le formule]
Comunque per scrivere il punto 1, mi sono appoggiato a un teorema fatto sulle serie di potenze. Mi consigli di trovare una successione ${M_n}_{n\in NN}$ tale che
$n^3 (1/(e^x))^n<= M_n$ e verificare cosa fa la serie $\sum M_n$?
Posso affermare che, preso un intervallo $[a,b] \subset C$, $M_n= n^3 (1/(e^a))^n$? Mi studio la serie degli $M_n$ e poi ho concluso, giusto?
[Scusa il ritardo ma sono lentissimo a scrivere le formule]
Sisi...
Ogni funzione $n^3/e^(nx)$ è decrescente, quindi il massimo in $[a,+oo[$ (con $a>0$) è preso in $a$ ed è $M_n=n^3/e^(an)$; visto che la serie $\sum M_n$ è convergente (perchè il termine generale è infinitesimo d'ordine infinitamente grande risp. a $1/n$) la serie di funzioni converge totalmente addirittura in ogni semiretta $[a,+oo[$.
Quindi, hai convergenza totale non solo sui limitati ma anche su tutti gli insiemi contenuti in qualche semiretta $[a,+oo[$ con $a>0$.
Ogni funzione $n^3/e^(nx)$ è decrescente, quindi il massimo in $[a,+oo[$ (con $a>0$) è preso in $a$ ed è $M_n=n^3/e^(an)$; visto che la serie $\sum M_n$ è convergente (perchè il termine generale è infinitesimo d'ordine infinitamente grande risp. a $1/n$) la serie di funzioni converge totalmente addirittura in ogni semiretta $[a,+oo[$.
Quindi, hai convergenza totale non solo sui limitati ma anche su tutti gli insiemi contenuti in qualche semiretta $[a,+oo[$ con $a>0$.
Perfetto, grazie mille!! (sei un $mostro^2$ sempre in senso buono)
Mia curiosità: il testo non chiedeva di cercare la somma, come hai fatto a trovare quella espressione? Anzi, non dirmelo, ci voglio provare, nel caso non ci riuscissi, posterò di nuovo. Grazie!!
Mia curiosità: il testo non chiedeva di cercare la somma, come hai fatto a trovare quella espressione? Anzi, non dirmelo, ci voglio provare, nel caso non ci riuscissi, posterò di nuovo. Grazie!!
L'ho trovata barando clamorosamente: ho usato Mathematica... 
Sei conunque un $mostro^2$ 
. Ancora mille grazie
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