Serie di potenze. aiuto nella risoluzione
buongiorno,
ho questa serie di potenze. devo stabilire raggio, insieme e tipo di convergenza.
$ Sigma $ $ sum_(n = oo) ((3n^2)/(5n^2+1))^n (x-2)^n $
tramite il criterio della radice trovo che il raggio di convergenza è 5/3
da qua mi blocco. provo ad inserire $ -5/3 $ e $ 5/3 $
potete aiutarmi?
grazie
ho questa serie di potenze. devo stabilire raggio, insieme e tipo di convergenza.
$ Sigma $ $ sum_(n = oo) ((3n^2)/(5n^2+1))^n (x-2)^n $
tramite il criterio della radice trovo che il raggio di convergenza è 5/3
da qua mi blocco. provo ad inserire $ -5/3 $ e $ 5/3 $
potete aiutarmi?
grazie
Risposte
Ciao ste88r,
Secondo me sbagli ancora a calcolare il $\lim_{n \to +\infty} a_{n + 1}/a_n = 1 \implies R = 1$ e comunque conviene di gran lunga il rapporto...
$\sum_{n = 1}^{+\infty} a_n (x - x_0)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (3n^2)/(5n^2 + 1) (x - 2)^n $
Converge per $|x - x_0| < R \iff |x - 2| < 1 \iff 1 < x < 3 $. Ora devi analizzare cosa accade per $x = 1 $ e per $x = 3 $
Secondo me sbagli ancora a calcolare il $\lim_{n \to +\infty} a_{n + 1}/a_n = 1 \implies R = 1$ e comunque conviene di gran lunga il rapporto...
$\sum_{n = 1}^{+\infty} a_n (x - x_0)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (3n^2)/(5n^2 + 1) (x - 2)^n $
$\sum_{n = 1}^{+\infty} a_n (x - x_0)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (3n^2)/(5n^2 + 1) (x - 2)^n $
Converge per $|x - x_0| < R \iff |x - 2| < 1 \iff 1 < x < 3 $. Ora devi analizzare cosa accade per $x = 1 $ e per $x = 3 $
ti chiedo scusa ...mi sono dimenticato un elevamento alla ^n
Ah beh, in tal caso le cose cambiano ed il risultato del limite in effetti è $3/5$, da cui il raggio di convergenza è $R = 5/3 $
No, perché $−5/3$ e $5/3$? Se il raggio di convergenza è $R = 5/3 $, significa che la serie proposta converge per $|x - x_0| < R $, cioè nel caso specifico per
$|x - 2| < 5/3 \iff 1/3 < x < 11/3 $
Quindi semmai i valori da sostituire per vedere cosa accade in quei casi sono $x = 1/3 $ e $x = 11/3$
"ste88r":
provo ad inserire $−5/3$ e $5/3$
No, perché $−5/3$ e $5/3$? Se il raggio di convergenza è $R = 5/3 $, significa che la serie proposta converge per $|x - x_0| < R $, cioè nel caso specifico per
$|x - 2| < 5/3 \iff 1/3 < x < 11/3 $
Quindi semmai i valori da sostituire per vedere cosa accade in quei casi sono $x = 1/3 $ e $x = 11/3$
$ z=x-2=1/3 $
$ sum_(n = oo ) ((3n^2)/(5n^2+1))^n(1/3)^n $
applico criterio della radice
$ lim_(n -> oo ) sqrt(((3n^2)/(5n^2+1))^n(1/3)^n) $
$ lim_(n -> oo ) ((3n^2)/(5n^2+1))(1/3) $
$ lim_(n -> oo ) (3n^2)/(15n^2+3) $
$ lim_(n -> oo ) (3n^2)/(15n^2+3)=3/15=1/5 $
$ l< 1 $
Quindi divergente
______________
$ z=x-2=11/3 $
$ sum_(n = oo ) ((3n^2)/(5n^2+1))^n(11/3)^n $
applico criterio della radice
$ lim_(n -> oo ) sqrt(((3n^2)/(5n^2+1))^n(11/3)^n) $
$ lim_(n -> oo ) ((3n^2)/(5n^2+1))(11/3) $
$ lim_(n -> oo ) (33n^2)/(15n^2+3) $
$ lim_(n -> oo ) (33n^2)/(15n^2+3)=33/15=11/5 $
$ l> 1 $
Quindi converge
concludo che la convergenza è puntuale $ (1/3,11/3) $
non riesco come anche nell'altro caso a dire se è totale? proverei a dire che essendo convergente sul punto 11/3 dovrebbe essere incluso
$ sum_(n = oo ) ((3n^2)/(5n^2+1))^n(1/3)^n $
applico criterio della radice
$ lim_(n -> oo ) sqrt(((3n^2)/(5n^2+1))^n(1/3)^n) $
$ lim_(n -> oo ) ((3n^2)/(5n^2+1))(1/3) $
$ lim_(n -> oo ) (3n^2)/(15n^2+3) $
$ lim_(n -> oo ) (3n^2)/(15n^2+3)=3/15=1/5 $
$ l< 1 $
Quindi divergente
______________
$ z=x-2=11/3 $
$ sum_(n = oo ) ((3n^2)/(5n^2+1))^n(11/3)^n $
applico criterio della radice
$ lim_(n -> oo ) sqrt(((3n^2)/(5n^2+1))^n(11/3)^n) $
$ lim_(n -> oo ) ((3n^2)/(5n^2+1))(11/3) $
$ lim_(n -> oo ) (33n^2)/(15n^2+3) $
$ lim_(n -> oo ) (33n^2)/(15n^2+3)=33/15=11/5 $
$ l> 1 $
Quindi converge
concludo che la convergenza è puntuale $ (1/3,11/3) $
non riesco come anche nell'altro caso a dire se è totale? proverei a dire che essendo convergente sul punto 11/3 dovrebbe essere incluso
No, non ci sei...
La serie proposta è la seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} ((3n^2)/(5n^2 + 1))^n (x - 2)^n $
Per $x = 1/3 $ la serie diventa la seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} ((3n^2)/(5n^2 + 1))^n (1/3 - 6/3)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n ((n^2)/(n^2 + 1/5))^n $
L'ultima serie scritta è oscillante, stando abbondanti diciamo che $ - 1 < s_n < 1/2 $
Per $x = 11/3 $ invece la serie diventa la seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} ((3n^2)/(5n^2 + 1))^n (11/3 - 6/3)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} ((n^2)/(n^2 + 1/5))^n $
Quest'ultima serie scritta è positivamente divergente.
In conclusione, l'insieme di convergenza puntuale coincide con $(1/3,11/3)$. Rimane da stabilire se in tale insieme la convergenza è uniforme/totale: per questo puoi fare riferimento alla spiegazione che ti ha già dato Mephlip nell'altro tuo post analogo.
La serie proposta è la seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} ((3n^2)/(5n^2 + 1))^n (x - 2)^n $
Per $x = 1/3 $ la serie diventa la seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} ((3n^2)/(5n^2 + 1))^n (1/3 - 6/3)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n ((n^2)/(n^2 + 1/5))^n $
L'ultima serie scritta è oscillante, stando abbondanti diciamo che $ - 1 < s_n < 1/2 $
Per $x = 11/3 $ invece la serie diventa la seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} ((3n^2)/(5n^2 + 1))^n (11/3 - 6/3)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} ((n^2)/(n^2 + 1/5))^n $
Quest'ultima serie scritta è positivamente divergente.
In conclusione, l'insieme di convergenza puntuale coincide con $(1/3,11/3)$. Rimane da stabilire se in tale insieme la convergenza è uniforme/totale: per questo puoi fare riferimento alla spiegazione che ti ha già dato Mephlip nell'altro tuo post analogo.
Grazie mille!
sulla convergenza uniforme/totale sono ancora messo male...non riesco ancora autonomo sull'argomento.
Non saprei come concludere l'esercizio
sulla convergenza uniforme/totale sono ancora messo male...non riesco ancora autonomo sull'argomento.
Non saprei come concludere l'esercizio
"ste88r":
Grazie mille!
Prego!
"ste88r":
Non saprei come concludere l'esercizio
Beh, provaci seguendo le indicazioni che ti sono già state date: anche perché se te lo risolviamo sempre noi, poi all'esame come farai se non riuscirai ad acquisire la necessaria autonomia? Oltre al tuo libro di testo, potresti dare un'occhiata anche ad esempio a questo link e a questo thread, in particolare a quanto scritto da gugo82.
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