Serie di potenze
Una serie di potenze al giorno...
Allora:
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\ln(n^{2}+1)-2\ln n}{n-i\pi}(z+i\bar{z})^{n}
\]
Fatta le sostituzioni \(w=z+i\bar{z}\) e \(a_n=\frac{\ln(n^{2}+1)-2\ln n}{n-i\pi}\) vado a studiarmi la serie \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}}\). Abbiamo che
\[
|a_n|=\frac{|\ln(n^2+1)-2\ln n|}{|n-i\pi|}=\frac{\ln(1+\frac{1}{n^{2}})}{\sqrt{n^{2}-\pi^{2}}} \simeq \frac{\ln(1+\frac{1}{n^{2}})}{n}, n \to \infty
\]
Ora dovrei calcolarmi \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}|a_n|^{\frac{1}{n}}}\) ma mi incarto su questo limite nel senso che mi viene una forma indeterminata \(0^{0}\) che non so come togliermi. Vengono fuori le mie non poche lacune di Analisi 1... Qualcuno mi darebbe un hint?
Allora:
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\ln(n^{2}+1)-2\ln n}{n-i\pi}(z+i\bar{z})^{n}
\]
Fatta le sostituzioni \(w=z+i\bar{z}\) e \(a_n=\frac{\ln(n^{2}+1)-2\ln n}{n-i\pi}\) vado a studiarmi la serie \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}}\). Abbiamo che
\[
|a_n|=\frac{|\ln(n^2+1)-2\ln n|}{|n-i\pi|}=\frac{\ln(1+\frac{1}{n^{2}})}{\sqrt{n^{2}-\pi^{2}}} \simeq \frac{\ln(1+\frac{1}{n^{2}})}{n}, n \to \infty
\]
Ora dovrei calcolarmi \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}|a_n|^{\frac{1}{n}}}\) ma mi incarto su questo limite nel senso che mi viene una forma indeterminata \(0^{0}\) che non so come togliermi. Vengono fuori le mie non poche lacune di Analisi 1... Qualcuno mi darebbe un hint?
Risposte
Forse, per levarsi dalle scatole il logaritmo, può essere utile ricordare che $ln(1+x) \sim x$, per $x \to 0$.
Ma perché non usi il criterio del rapporto, invece che quello della radice?
Quindi
\[
|a_n|=\frac{|\ln(n^2+1)-2\ln n|}{|n-i\pi|}=\frac{\ln(1+\frac{1}{n^{2}})}{\sqrt{n^{2}-\pi^{2}}} \simeq \frac{\ln(1+\frac{1}{n^{2}})}{n} \simeq \frac{1}{n^{3}}, n \to \infty
\]
e dunque
\[
\lim_{n \to \infty}|a_n|^{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}\lvert\frac{1}{n^{3}}\rvert^{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}e^{\frac{1}{n}\ln(\frac{1}{n^{3}})}=\lim_{n \to \infty}e^{\frac{1}{n}(-3\ln n)}=e^{\lim_{n \to \infty}\frac{3\ln n}{n}}=1
\]
Quindi la serie ha raggio di convergenza $1$ e tornando alla serie originaria abbiamo che converge puntualmente per
\[
|z+i\bar{z}|<1 \implies |x+y+i(x+y)|<1 \implies \sqrt{(x+y)^{2}+(x+y)^{2}} < 1
\]
\[
\implies \sqrt{2}|x+y|<1 \implies |x+y|<\frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Si verifica che la serie converge anche sulla frontiera del cerchio di convergenza e che quindi essa ivi converge uniformemente.
Può andare?
\[
|a_n|=\frac{|\ln(n^2+1)-2\ln n|}{|n-i\pi|}=\frac{\ln(1+\frac{1}{n^{2}})}{\sqrt{n^{2}-\pi^{2}}} \simeq \frac{\ln(1+\frac{1}{n^{2}})}{n} \simeq \frac{1}{n^{3}}, n \to \infty
\]
e dunque
\[
\lim_{n \to \infty}|a_n|^{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}\lvert\frac{1}{n^{3}}\rvert^{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}e^{\frac{1}{n}\ln(\frac{1}{n^{3}})}=\lim_{n \to \infty}e^{\frac{1}{n}(-3\ln n)}=e^{\lim_{n \to \infty}\frac{3\ln n}{n}}=1
\]
Quindi la serie ha raggio di convergenza $1$ e tornando alla serie originaria abbiamo che converge puntualmente per
\[
|z+i\bar{z}|<1 \implies |x+y+i(x+y)|<1 \implies \sqrt{(x+y)^{2}+(x+y)^{2}} < 1
\]
\[
\implies \sqrt{2}|x+y|<1 \implies |x+y|<\frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Si verifica che la serie converge anche sulla frontiera del cerchio di convergenza e che quindi essa ivi converge uniformemente.
Può andare?
"gugo82":
Ma perché non usi il criterio del rapporto, invece che quello della radice?
In effetti il limite \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\frac{n^{3}}{(n+1)^{3}}}\) era più semplice da calcolare... Il resto era giusto?
Sì, il raggio è 1 e anche il resto mi pare tutto giusto (forse hai dimenticato di scrivere solo una $i$, ma i conti mi paiono giusti) .
Eccone un'altra
\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2\cos(ni)}{1+e^{n}}\left(\frac{z+\bar{z}}{z^{2}}\right)^{n}
\]
Poniamo \(w=\frac{z+\bar{z}}{z^{2}}\) e \(a_n=\frac{2\cos(ni)}{1+e^{n}}\). Quindi
\[
|a_n|=\frac{|e^{-n}+e^{n}|}{1+e^{n}}=\frac{e^{n}|\frac{1}{n^{2}}-1|}{e^{n}(\frac{1}{n}+1)}=1, n \to \infty
\]
e di conseguenza
\[
\lim_{n \to \infty}|a_n|^{\frac{1}{n}}=1
\]
quindi la serie \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}}\) ha raggio di convergenza uguale a $1$. Tornando alla serie originaria ho che essa converge per \[
|\frac{z+\bar{z}}{z^{2}}|<1
\]
e qui non so come andare avanti per risolvere la disequazione rispetto a $z$. Ho provato a mettere $z$ in forma cartesiama ed a sviluppare il modulo ma non riesco ad ottenere nulla di utile. Qualcuno avrebbe un suggerimento?
\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2\cos(ni)}{1+e^{n}}\left(\frac{z+\bar{z}}{z^{2}}\right)^{n}
\]
Poniamo \(w=\frac{z+\bar{z}}{z^{2}}\) e \(a_n=\frac{2\cos(ni)}{1+e^{n}}\). Quindi
\[
|a_n|=\frac{|e^{-n}+e^{n}|}{1+e^{n}}=\frac{e^{n}|\frac{1}{n^{2}}-1|}{e^{n}(\frac{1}{n}+1)}=1, n \to \infty
\]
e di conseguenza
\[
\lim_{n \to \infty}|a_n|^{\frac{1}{n}}=1
\]
quindi la serie \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}}\) ha raggio di convergenza uguale a $1$. Tornando alla serie originaria ho che essa converge per \[
|\frac{z+\bar{z}}{z^{2}}|<1
\]
e qui non so come andare avanti per risolvere la disequazione rispetto a $z$. Ho provato a mettere $z$ in forma cartesiama ed a sviluppare il modulo ma non riesco ad ottenere nulla di utile. Qualcuno avrebbe un suggerimento?
Poni $z=x+iy$: allora $z+\overline{z} = 2\Re(z)=2x$ e $|z^2|=|z|^2=x^2+y^2$.
Dunque [tex]\left \vert \frac{z+\overline{z}}{z^2} \right \vert < 1[/tex] se e soltanto se [tex]\frac{2|x|}{x^2+y^2} < 1[/tex].
Informalmente (ma rende!), è il piano meno due palle. LOL
Dunque [tex]\left \vert \frac{z+\overline{z}}{z^2} \right \vert < 1[/tex] se e soltanto se [tex]\frac{2|x|}{x^2+y^2} < 1[/tex].
Informalmente (ma rende!), è il piano meno due palle. LOL
"Paolo90":
$|z^2|=|z|^2=x^2+y^2$.
Sei sicuro di questo?
$|z^{2}|=\sqrt{(x^{2}-y^{2})^{2}+4x^{2}y^{2}}$ mentre $|z|^{2}=x^{2}+y^{2}$. Oppure sbaglio qualcosa?
Max, il modulo è moltiplicativo, nel senso che $|z_1||z_2|=|z_1z_2|$ per ogni $z_1, z_2 \in \CC$.
Nel nostro caso, se $z_1=z_2=z:=x+iy$ abbiamo da una parte $|z|^2=(\sqrt(x^2+y^2))^2=x^2+y^2$; dall'altra, $z^2=x^2-y^2+2ixy$ e quindi $|z^2|=sqrt( (x^2-y^2)^2+4x^2y^2)=\sqrt(x^4+y^4-2x^2y^2+4x^2y^2)=\sqrt(x^4+y^4+2x^2y^2)=x^2+y^2$.
Ti torna tutto?
Nel nostro caso, se $z_1=z_2=z:=x+iy$ abbiamo da una parte $|z|^2=(\sqrt(x^2+y^2))^2=x^2+y^2$; dall'altra, $z^2=x^2-y^2+2ixy$ e quindi $|z^2|=sqrt( (x^2-y^2)^2+4x^2y^2)=\sqrt(x^4+y^4-2x^2y^2+4x^2y^2)=\sqrt(x^4+y^4+2x^2y^2)=x^2+y^2$.
Ti torna tutto?
Scusami, bastava svolgere i calcoli. Ti chiedo un'altra cosa: perché dici che si tratta del piano privato di due palle?
"maxsiviero":
Scusami, bastava svolgere i calcoli.
Figurati, nessun problema.
"maxsiviero":
Ti chiedo un'altra cosa: perché dici che si tratta del piano privato di due palle?
Vogliamo dare una rappresentazione grafica sul piano di Argand-Gauss dell'insieme di convergenza (mi pare fosse richiesto dall'esercizio). Dobbiamo quindi disegnare quei punti $(x,y) \in \RR^2$ tali che $2|x|
Ora si tratta di fare due conti e ricordare un po' di geometria analitica. Nel semipiano $x\ge 0$, prendiamo i punti con $2x
Analogamente, se $x<0$, prenderemo $x^2+y^2+2x>0$, cioè tutti i punti esterni alla circonferenza di raggio 1 centrata in $(-1,0)$. Graficamente, la regione di convergenza è quella non colorata in figura:
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="blue"; // seleziona il colore rosso
fill="dodgerblue";
circle( [1,0] , 1 );
fill="dodgerblue";
circle( [-1,0] , 1 );[/asvg]
Volgarmente, un piano meno... due palle
Fino alla risoluzione della disequazione ci sono. Mi riusciva difficile infividuare graficamente la regione di convergenza. Ricordi vaghi di geometria analitica 
Prometto che è l'ultima:
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1+i)^{n}}{n^{5}+\sin n}(2z-\bar{z})^{n}
\]
Come al solito poniamo
\[
a_n=\frac{(1+i)^{n}}{n^{5}+\sin n}
\]
e
\[
w=2z-\bar{z}
\]
Abbiamo che
$|a_n|=\frac{|(1+i)^{n}|}{|n^{5}+\sin n|}=\frac{2^{n/2}}{|n^{5}+\sin n|} \sim \frac{2^{1/2n}}{n^{5}}, n \to \infty$
Quindi
$\lim_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}=\lim_{n \to \infty}(\frac{2^{1/2n}}{n^{5}})^{1/n}=\sqrt{2}\lim_{n \to \infty}n^{-5/n}=\sqrt{2}\lim_{n \to \infty}e^{\frac{-5\log n}{n}}=\sqrt{2} \cdot 1=\sqrt{2}$
Dunque la serie $\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}$ converge per $|w| < \sqrt{2}$. Tornando alla serie originaria dobbiamo determinare $z \in \mathbb{C}$ tali che $|2z-\bar{z}|<\sqrt{2}$
Allora
$|2z-\bar{z}|=|2(x+iy)-x+iy|=|x+3iy|=\sqrt{x^{2}+9y^{2}}$
e di conseguenza
$\sqrt{x^{2}+9y^{2}} < \sqrt{2} \iff x^{2}+9y^{2} < 2$
Si tratta di un ellisse centrata nell'origine.
Il problema è che la soluzione proposta dal prof è ${x+iy: x,y \ in \mathbb{R}, x^{2]+9y^{2] < 1/2}$. Perché?
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1+i)^{n}}{n^{5}+\sin n}(2z-\bar{z})^{n}
\]
Come al solito poniamo
\[
a_n=\frac{(1+i)^{n}}{n^{5}+\sin n}
\]
e
\[
w=2z-\bar{z}
\]
Abbiamo che
$|a_n|=\frac{|(1+i)^{n}|}{|n^{5}+\sin n|}=\frac{2^{n/2}}{|n^{5}+\sin n|} \sim \frac{2^{1/2n}}{n^{5}}, n \to \infty$
Quindi
$\lim_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}=\lim_{n \to \infty}(\frac{2^{1/2n}}{n^{5}})^{1/n}=\sqrt{2}\lim_{n \to \infty}n^{-5/n}=\sqrt{2}\lim_{n \to \infty}e^{\frac{-5\log n}{n}}=\sqrt{2} \cdot 1=\sqrt{2}$
Dunque la serie $\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}$ converge per $|w| < \sqrt{2}$. Tornando alla serie originaria dobbiamo determinare $z \in \mathbb{C}$ tali che $|2z-\bar{z}|<\sqrt{2}$
Allora
$|2z-\bar{z}|=|2(x+iy)-x+iy|=|x+3iy|=\sqrt{x^{2}+9y^{2}}$
e di conseguenza
$\sqrt{x^{2}+9y^{2}} < \sqrt{2} \iff x^{2}+9y^{2} < 2$
Si tratta di un ellisse centrata nell'origine.
Il problema è che la soluzione proposta dal prof è ${x+iy: x,y \ in \mathbb{R}, x^{2]+9y^{2] < 1/2}$. Perché?
Ti sei dimenticato di fare l'inverso! Non dimenticare che $lim"sup"_{n to \infty} |a_n|^{1/n} = 1/R$.
Inoltre, ti faccio osservare una cosa: la disuguaglianza in verità non è stretta, poichè c'è convergenza anche sul bordo. Sapresti dirmi perché?
Inoltre, ti faccio osservare una cosa: la disuguaglianza in verità non è stretta, poichè c'è convergenza anche sul bordo. Sapresti dirmi perché?
Per la convergenza sul bordo devo studiare le serie
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1+i)^{n}}{n^{5}+\sin n}(1/2)^{n}
\]
e
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1+i)^{n}}{n^{5}+\sin n}(-1/2)^{n}
\]
Utilizzando i risultati precedenti posso dire che la prima è convergente poiché $\lim_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}(1/2^{n})^{1/n}=\sqrt{2}/2$. Stessa cosa per la seconda. Quindi la serie originaria converge uniformemente nel disco di convergenza che abbiamo determinato. Giusto?
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1+i)^{n}}{n^{5}+\sin n}(1/2)^{n}
\]
e
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1+i)^{n}}{n^{5}+\sin n}(-1/2)^{n}
\]
Utilizzando i risultati precedenti posso dire che la prima è convergente poiché $\lim_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}(1/2^{n})^{1/n}=\sqrt{2}/2$. Stessa cosa per la seconda. Quindi la serie originaria converge uniformemente nel disco di convergenza che abbiamo determinato. Giusto?
Mi piacerebbe poterti dire che è giusto, ma purtroppo non è così.
Vedi, Max, non siamo in $RR$, quindi non basta studiare la convergenza in quei due punti. Ti consiglio, per cominciare, di dare una lettura alle pagine 30 e seguenti del primo file delle nostre dispense. Poi, se hai voglia, fammi un fischio, così discutiamo qui del comportamento sul bordo della serie in questione.
Vedi, Max, non siamo in $RR$, quindi non basta studiare la convergenza in quei due punti. Ti consiglio, per cominciare, di dare una lettura alle pagine 30 e seguenti del primo file delle nostre dispense. Poi, se hai voglia, fammi un fischio, così discutiamo qui del comportamento sul bordo della serie in questione.
Scusami ho scritto una cavolata. Dovrebbe essere così: siccome avevamo che $|a_n| \sim \frac{2^{n/2}}{n^{5}}, n \to \infty$ se poniamo $|w|=R=\sqrt{2}/2$ abbiamo che $|a_n||w|^{n} \sim \frac{2^{n/2}}{n^{5}} \cdot (\sqrt{2}/2)^n \sim (\frac{2^{n/2}}{n^{5}}) \cdot (\frac{2^{n/2}}{2^{n}}) \sim 1/n^{5}, n \to \infty$.
Quindi la serie originaria si riduce alla serie $\sum_{n=0}^{\infty}1/n^{5}$ che sappiamo essere convergente. Posso allora dedurre che la serie converge assolutamente e quindi puntualmente anche sulla frontiera ed abbiamo quindi convergenza uniforme nel disco di convergenza. Giusto?
Quindi la serie originaria si riduce alla serie $\sum_{n=0}^{\infty}1/n^{5}$ che sappiamo essere convergente. Posso allora dedurre che la serie converge assolutamente e quindi puntualmente anche sulla frontiera ed abbiamo quindi convergenza uniforme nel disco di convergenza. Giusto?
Certamente.
[OT]
@max & Paolo: Ah, ma frequentate insieme voi due?!?
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@max & Paolo: Ah, ma frequentate insieme voi due?!?
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"gugo82":
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@max & Paolo: Ah, ma frequentate insieme voi due?!?
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Diciamo che Paolo frequenta, io sono riuscito a seguire qualche lezione di Analisi 3 nei momenti liberi dal lavoro. Siamo entrati in contatto grazie al forum ed a maurer.
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