Serie di potenze
Una serie di potenze al giorno...
Allora:
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\ln(n^{2}+1)-2\ln n}{n-i\pi}(z+i\bar{z})^{n}
\]
Fatta le sostituzioni \(w=z+i\bar{z}\) e \(a_n=\frac{\ln(n^{2}+1)-2\ln n}{n-i\pi}\) vado a studiarmi la serie \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}}\). Abbiamo che
\[
|a_n|=\frac{|\ln(n^2+1)-2\ln n|}{|n-i\pi|}=\frac{\ln(1+\frac{1}{n^{2}})}{\sqrt{n^{2}-\pi^{2}}} \simeq \frac{\ln(1+\frac{1}{n^{2}})}{n}, n \to \infty
\]
Ora dovrei calcolarmi \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}|a_n|^{\frac{1}{n}}}\) ma mi incarto su questo limite nel senso che mi viene una forma indeterminata \(0^{0}\) che non so come togliermi. Vengono fuori le mie non poche lacune di Analisi 1... Qualcuno mi darebbe un hint?
Allora:
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\ln(n^{2}+1)-2\ln n}{n-i\pi}(z+i\bar{z})^{n}
\]
Fatta le sostituzioni \(w=z+i\bar{z}\) e \(a_n=\frac{\ln(n^{2}+1)-2\ln n}{n-i\pi}\) vado a studiarmi la serie \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}}\). Abbiamo che
\[
|a_n|=\frac{|\ln(n^2+1)-2\ln n|}{|n-i\pi|}=\frac{\ln(1+\frac{1}{n^{2}})}{\sqrt{n^{2}-\pi^{2}}} \simeq \frac{\ln(1+\frac{1}{n^{2}})}{n}, n \to \infty
\]
Ora dovrei calcolarmi \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}|a_n|^{\frac{1}{n}}}\) ma mi incarto su questo limite nel senso che mi viene una forma indeterminata \(0^{0}\) che non so come togliermi. Vengono fuori le mie non poche lacune di Analisi 1... Qualcuno mi darebbe un hint?
Risposte
[OT, l'ultimo]
Ah, sì, vero!... Mi avevi detto che lavoravi tempo fa, ora ricordo.
Scusate l'OT.
[/OT]
Ah, sì, vero!... Mi avevi detto che lavoravi tempo fa, ora ricordo.
Scusate l'OT.
[/OT]
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