Serie di potenze
Determinare l'insieme di convergenza della seguente serie di potenze e scrivere la funzione somma $s(z)$. Risolvere inoltre l'equazione riportata:
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos^{n}z}{n!}$ ; $s(z)=-1$
Opero una sostituzione $w=\cosz$ per ottenere $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!}$ che è l'espansione in serie della funzione esponenziale complessa che converge $\forall w \in \mathbb{C}$. Quindi abbiamo che la serie originaria converge in tutto $\mathbb{C}$ ed ha somma $s(w)=e^{w} \rightarrow s(z)=e^{\cosz}$. E fino a qui tutto ok. Vado adesso a risolvere l'equazione $s(z)=-1 \iff e^{\cosz}=-1 \iff \cosz=-\frac{\pi}{2}i \iff \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=-\frac{pi}{2}i$
A questo punto faccio un'altra sostituzione:
$\{(w=e^{iz}),(\frac{w+w^{-1}}{2}=-\frac{\pi}{2}i):} \iff \{(w=e^{iz}),(w^{2}+1=-i \pi w):} \iff \{(w=e^{iz}),(w^{2}+i\pi w+1=0):} \iff \{(w=e^{iz}),(w=\frac{-\pi i \pm \sqrt{\pi+4}i}{2}):}$
Da cui ottengo:
$e^{iz}=i\(\frac{-\pi \pm \sqrt{\pi+4}}{2}\) \iff iz=\log\(\frac{-\pi \pm \sqrt{\pi+4}}{2}\)+i\frac{\pi}{2} \iff z=\frac{\pi}{2}-i\log\(\frac{-\pi \pm \sqrt{\pi+4}}{2}\)$.
E' giusto?
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos^{n}z}{n!}$ ; $s(z)=-1$
Opero una sostituzione $w=\cosz$ per ottenere $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!}$ che è l'espansione in serie della funzione esponenziale complessa che converge $\forall w \in \mathbb{C}$. Quindi abbiamo che la serie originaria converge in tutto $\mathbb{C}$ ed ha somma $s(w)=e^{w} \rightarrow s(z)=e^{\cosz}$. E fino a qui tutto ok. Vado adesso a risolvere l'equazione $s(z)=-1 \iff e^{\cosz}=-1 \iff \cosz=-\frac{\pi}{2}i \iff \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=-\frac{pi}{2}i$
A questo punto faccio un'altra sostituzione:
$\{(w=e^{iz}),(\frac{w+w^{-1}}{2}=-\frac{\pi}{2}i):} \iff \{(w=e^{iz}),(w^{2}+1=-i \pi w):} \iff \{(w=e^{iz}),(w^{2}+i\pi w+1=0):} \iff \{(w=e^{iz}),(w=\frac{-\pi i \pm \sqrt{\pi+4}i}{2}):}$
Da cui ottengo:
$e^{iz}=i\(\frac{-\pi \pm \sqrt{\pi+4}}{2}\) \iff iz=\log\(\frac{-\pi \pm \sqrt{\pi+4}}{2}\)+i\frac{\pi}{2} \iff z=\frac{\pi}{2}-i\log\(\frac{-\pi \pm \sqrt{\pi+4}}{2}\)$.
E' giusto?
Risposte
"maxsiviero":
Vado adesso a risolvere l'equazione $s(z)=-1 \iff e^{\cosz}=-1 \iff \cosz=-\frac{\pi}{2}i$
Come giustifichi l'ultima equivalenza? Tieni conto che l'argomento di $-1$ è $pi$, non $pi/2$; inoltre, l'esponenziale complesso è periodico di periodo $2pi i$, quindi devi tenere conto anche di quelle soluzioni, direi...
(Non prendere per oro colato quanto dico, stasera sono più sbarellato del solito
)
"Paolo90":
Tieni conto che l'argomento di $-1$ è $pi$, non $pi/2$; inoltre, l'esponenziale complesso è periodico di periodo $2pi i$, quindi devi tenere conto anche di quelle soluzioni, direi...
In effetti ho scritto una boiata
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
provo a correggere:$s(z)=-1 \iff e^{\cosz}=-1 \iff \cosz=\pi i \iff \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\pi i$
A questo punto faccio un'altra sostituzione:
$\{(w=e^{iz}),(\frac{w+w^{-1}}{2}=\pi i):} \iff \{(w=e^{iz}),(w^{2}+1=2\pi iw):} \iff \{(w=e^{iz}),(w^{2}-2\pi iw+1=0):} \iff \{(w=e^{iz}),(w=\pi i \pm i\sqrt{\pi^{2}+1}):}$
Da cui ottengo:
$e^{iz}=i\(\pi \pm \sqrt{\pi^{2}+1}\) \iff iz=\log\(\pi \pm \sqrt{\pi^{2}+1}\) \pm i\frac{\pi}{2} \iff z=\pm \frac{\pi}{2}-i\log\(\pi \pm \sqrt{\pi^{2}+1}\)$.
E' giusto?
A parte un errore nel sistema (se non vedo male, mi pare sia saltato un 2 da qualche parte), credo che comunque continui a perderti delle soluzioni...
Dire $e^z=a$ equivale a $z=ln|a|+iArg(a)+2k\pi i$, al variare di $k \in ZZ$, con ovvio significato delle notazioni.
Ti torna? Questo perchè l'esponenziale, come si diceva sopra, è periodico, $e^(z+2pii)=e^z$...
Dire $e^z=a$ equivale a $z=ln|a|+iArg(a)+2k\pi i$, al variare di $k \in ZZ$, con ovvio significato delle notazioni.
Ti torna? Questo perchè l'esponenziale, come si diceva sopra, è periodico, $e^(z+2pii)=e^z$...
Adesso ho corretto il sistema, in effetti mi ero perso un $2$. Concordo invece sul fatto della periodicità delle soluzioni. In effetti ho considerato soltanto il ramo principale del logaritmo. Volevo solo capire se il procedimento che ho utilizzato per risolvere l'equazione è corretto.
Sì, assolutamente sì. Il metodo che hai utilizzato è certamente corretto.
Visto che l'argomento è lo stesso, riapro questo per un dubbio su di un altro esercizio sulle serie di potenze. Devo studiare la convergenza e calcolare la somma della seguente serie:
\[
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\cos(n\pi)(i-z)^{n}}
\]
Allora, fatta l'ovvia sostituzione, $w=i-z$ mi trovo con la serie $\sum_{n=0}^{\infty}\cos(n\pi)w^{n}$. Per calcolare il raggio di convergenza io avrei fatto così:
\[
\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\frac{|\cos[(n+1)\pi]|}{|\cos(n\pi)|}=\lim_{n \to \infty}\frac{|\cos(n\pi+\pi)|}{|\cos(n\pi)|}=\lim_{n \to \infty}\frac{|-cos(n\pi)|}{|\cos(n\pi)|}=\lim_{n \to \infty}\frac{|\cos(n\pi)|}{|\cos(n\pi)|}=1}
\]
Quindi il raggio di convergenza è $R=1$ ed abbiamo che la serie originaria converge per $|i-z|<1 \Rightarrow$ ovvero i numeri complessi all'interno della circonferenza di centro $(0,-1)$ e di raggio $r=1$. Adesso dovrei calcolarmi la somma della serie e qui sono un po' in difficoltà. $\sum_{n=0}^{\infty}\cos(n\pi)w^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}w^{n}$ ma non riesco ad andare oltre. Suggerimenti?
\[
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\cos(n\pi)(i-z)^{n}}
\]
Allora, fatta l'ovvia sostituzione, $w=i-z$ mi trovo con la serie $\sum_{n=0}^{\infty}\cos(n\pi)w^{n}$. Per calcolare il raggio di convergenza io avrei fatto così:
\[
\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\frac{|\cos[(n+1)\pi]|}{|\cos(n\pi)|}=\lim_{n \to \infty}\frac{|\cos(n\pi+\pi)|}{|\cos(n\pi)|}=\lim_{n \to \infty}\frac{|-cos(n\pi)|}{|\cos(n\pi)|}=\lim_{n \to \infty}\frac{|\cos(n\pi)|}{|\cos(n\pi)|}=1}
\]
Quindi il raggio di convergenza è $R=1$ ed abbiamo che la serie originaria converge per $|i-z|<1 \Rightarrow$ ovvero i numeri complessi all'interno della circonferenza di centro $(0,-1)$ e di raggio $r=1$. Adesso dovrei calcolarmi la somma della serie e qui sono un po' in difficoltà. $\sum_{n=0}^{\infty}\cos(n\pi)w^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}w^{n}$ ma non riesco ad andare oltre. Suggerimenti?
Ho riflettuto meglio ed in effetti era più semplice di quanto credessi. Bastava osservare che \(\cos(n\pi)=(-1)^{n}\) e che quindi i termini della serie diventano \((-1)^{n}(i-z)^{n}=(z-i)^{n}\) e la serie, operando la sostituzione \(w=(z-i)\) si riduce alla serie geometrica \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}w^{n}}\) che ha somma \(s(w)=\frac{1}{1-w} \implies s(z)=\frac{1}{1-z+1}\)
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