Serie di potenze
determinare l'insieme di convergenza e la convergenza uniforme della seguente serie
$\sum_{n=1}^infty ((-1)^n*sqrt(n+1)*(x^2-4)^n)/((3^n)*logn)$
allora applicando il criterio di d'alambert mi viene che il raggio di convergenza è 3
per trovarmi l'insieme di convergenza impongo $|x^2-4|<3$
per cui $I_c=(-sqrt7,-1)uu(1,sqrt7)$
per la convergenza uniforme vedo cosa succede agli estrmi andando a sostituire al posto della x. in teoria lo dovrei calcolare 4 volte ma essendoci il quadrato lo faccio solo 2 volte
calcolandomi le serie mi sono trovato che per divergono entrambe per leibinitz. cosa posso dire sulla convergenza uniforme?
$\sum_{n=1}^infty ((-1)^n*sqrt(n+1)*(x^2-4)^n)/((3^n)*logn)$
allora applicando il criterio di d'alambert mi viene che il raggio di convergenza è 3
per trovarmi l'insieme di convergenza impongo $|x^2-4|<3$
per cui $I_c=(-sqrt7,-1)uu(1,sqrt7)$
per la convergenza uniforme vedo cosa succede agli estrmi andando a sostituire al posto della x. in teoria lo dovrei calcolare 4 volte ma essendoci il quadrato lo faccio solo 2 volte
calcolandomi le serie mi sono trovato che per divergono entrambe per leibinitz. cosa posso dire sulla convergenza uniforme?
Risposte
Ciao lepre561,
Innanzitutto la serie proposta deve partire da $n = 2 $, perché per $n = 1 $ si annulla il logaritmo al denominatore, quindi si assumerà che la serie di potenze proposta sia la seguente:
$\sum_{n=2}^{+\infty} ((-1)^n sqrt(n+1))/(3^n logn) (x^2-4)^n $
Gli intervalli che hai citato mi tornano, ma ciò che fai dopo è controllare la convergenza puntuale in $1 $ e $\sqrt{7} $ (giustamente non serve controllarla per i corrispondenti valori negativi per via della presenza del quadrato). Se si avrà convergenza puntuale allora si potrà fare uso del teorema di Abel per estendere a quei valori l'intervallo di convergenza uniforme della serie, ma non è questo il caso perché per $x = \pm 1 $ si ottiene la serie
$ \sum_{n=2}^{+\infty} (sqrt(n+1))/(logn) $
che è positivamente divergente, mentre per $x = \pm sqrt{7} $ si ottiene la serie
$ \sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n (sqrt(n+1))/(logn) $
anch'essa divergente.
Innanzitutto la serie proposta deve partire da $n = 2 $, perché per $n = 1 $ si annulla il logaritmo al denominatore, quindi si assumerà che la serie di potenze proposta sia la seguente:
$\sum_{n=2}^{+\infty} ((-1)^n sqrt(n+1))/(3^n logn) (x^2-4)^n $
Gli intervalli che hai citato mi tornano, ma ciò che fai dopo è controllare la convergenza puntuale in $1 $ e $\sqrt{7} $ (giustamente non serve controllarla per i corrispondenti valori negativi per via della presenza del quadrato). Se si avrà convergenza puntuale allora si potrà fare uso del teorema di Abel per estendere a quei valori l'intervallo di convergenza uniforme della serie, ma non è questo il caso perché per $x = \pm 1 $ si ottiene la serie
$ \sum_{n=2}^{+\infty} (sqrt(n+1))/(logn) $
che è positivamente divergente, mentre per $x = \pm sqrt{7} $ si ottiene la serie
$ \sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n (sqrt(n+1))/(logn) $
anch'essa divergente.
grazie mille per la risposta sempre impeccabile
però a questo punto avrei un'altra domanda quello che hai scritto tu è esattamente quello che ho fatto io che però...effettivamente da come sta scritto non sembra abbia fatto.
la domanda è questa prima di applicare Abel è necessario verificare la convergenza puntuale? e se si come si fa?
però a questo punto avrei un'altra domanda quello che hai scritto tu è esattamente quello che ho fatto io che però...effettivamente da come sta scritto non sembra abbia fatto.
la domanda è questa prima di applicare Abel è necessario verificare la convergenza puntuale? e se si come si fa?
"lepre561":
la domanda è questa prima di applicare Abel è necessario verificare la convergenza puntuale? e se si come si fa?
Scusa lepre561, ma non è proprio quello che hai fatto?
In generale se $ 0 < R < +\infty $:
1) Se c'è convergenza puntuale in $x = R $, allora c’è convergenza uniforme su ogni $[a, R] \subset (−R, R] $;
2) Se c'è convergenza puntuale in $x =−R $, allora c'è convergenza uniforme su ogni $ [−R, b] \subset [−R, R)$;
3) Se c'è convergenza puntuale in $x =\pm R $, allora c’è convergenza uniforme su tutto $[−R, R]$.
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