Serie di Laurent

[sapie1]

Salve a tutti ho un problema con questa serie di Laurent. Premetto che non ho molti esercizi svolti quindi non so neanche se lo svolgo correttamente.L'eserczio è questo
Sviluppare la seguente funzione $ f(z)=1/((z+2)(z-i)) $
in serie di Laurent negli insiemi
a) $ 0< |z+2| < sqrt(5) $
b) $ 1< |z|<2 $

Allora a) $ 0< |z+2| < sqrt(5) $ quindi volgio arrivare a $ 1/(1-(z+2)/sqrt(5) ) $ opp
$ 1/(1-(-(z+2))/sqrt(5) ) $ quindi scompongo la funzione in frazioni
$ f(z)= 1/((i+2)(z+2)) =1/((i+2)(z+2))+1/((2-i)(z-i)) $ arrivo a questo punto e non so più come procedere
riesco a fare solo quando $ |z|<2 $ cioè $ 1/((i+2)(z+2)) = 1/(2(i+2))1/((z+2)/2)=1/(2(i+2))1/(z/2+1) =1/(2(i+2))sum_(n = 0)^( oo )(-1)^n (z/2)^n $ Con i numeri complessi ho un po di difficoltà.
Un consiglio??

[sapie1]

nessuno sa darmi un consiglio..please

[gugo82]

La serie che cerchi nel primo punto è quella centrata nel punto \(-2\), che è singolare perchè \(\lim_{z\to -2} |f(z)|=+\infty\); il raggio di convergenza di questo sviluppo dovrà necessariamente essere \(\sqrt{5}\), perchè la tua funzione ha una singolarità anche in \(\imath\) e si vede che \(|-2-\imath|=\sqrt{5}\).

Dato che uno dei fattori che compongono \(f\) è già nella forma \(\frac{1}{(z+2)^k}\), è evidente che basta determinare la serie di Laurent dell'altro fattore per terminare l'esercizio.
Si ha:
\[
\frac{1}{z-\imath} = \frac{1}{z+2-(\imath +2)} = \frac{1}{z+2}\ \frac{1}{1-\frac{\imath+2}{z +2}}\; ,
\]
quindi:
\[
f(z)=\frac{1}{(z+2)^2}\ \frac{1}{1-\frac{\imath+2}{z +2}}
\]
e di qui si termina ricordando la serie geometrica.

[sapie1]

grazieeee millee mi sono fatta ingannare da $ -2-i $ !!!!
Aspetta hai cambiato il mex ma non si doveva fare $ (z+2)/sqrt(5) $ come avevi fatto prima?

Un altra domanda ma non la devo scomporre la funzione iniziale come ho fatto io?? posso lasciarla cosi?