Serie di Laurent

[poncelet]

Sia dato l'insieme \(A={z \in \mathbb{C}:|z-1|>1}\); dopo averne segnato l'immagine sul piano di Argand-Gauss, determinare lo sviluppo in serie di Laurent su \(A\) della funzione
\[
f(z)=\sin\left(\frac{z}{1-z}\right)
\]

Abbiamo che l'insieme \(A\) è la regione di piano esterna al cerchio di centro \((0,1)\) e raggio \(1\). In tale regione la funzione non ha singolarità e quindi posso sviluppare in serie di Taylor centrata in qualsiasi punto appartenente ad \(A\).
Io avrei quindi sviluppato il seno così
\[
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\left(\frac{z}{1-z}\right)^{2n+1}
\]
mentre invece la soluzione è
\[
f(z)=\sin\left(\frac{z}{1-z}\right)=\sin\left(\frac{1}{1-z}-1\right)=\sin\left(\frac{1}{1-z}\right)\cos(1)-\sin(1)\cos\left(\frac{1}{1-z}\right)=
\]
\[
\cos(1)\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\left(\frac{1}{1-z}\right)^{2n+1}-\sin(1)\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\left(\frac{1}{1-z}\right)^{2n}
\]
Perché la mia soluzione non è corretta?

[Seneca1]

La tua non è una serie di potenze di $1/(z - 1)$ ma di $z/(1 - z)$, quindi non è la serie di Laurent.